(a) Mostrar que a série sumnu=1^infty 1nu^x é uniformemente convergente para x >=q 1+ e.
(b) Demonstrar que a série derivada -Sigma log ymu^x converge uniformemente para x >=q 1+c.

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado pede e o que vamos usar. Queremos mostrar duas coisas para a série de funções
f(x)=sumnu=1^infty1nu^x,, x>=1+c>1,
(a) que essa série converge uniformemente em [1+c,infty), e
(b) que a série formada pelas derivadas termo a termo,
f'(x)=-sumnu=1^inftyln(nu)nu^x,,
também converge uniformemente em [1+c,infty).
O principal instrumento será o Critério de Weierstrass (teste da série majorante).

Passo 2

Aplicamos o Critério de Weierstrass à série original. Para todo x>=1+c e todo nu>=1 vale
0<=1nu^x<=1nu^1+c
Como 1+c>1, a série numérica
sumnu=1^infty1nu^1+c
é convergente (é uma p-série com p=1+c>1). Logo, definindo
Mnu=1nu^1+c,
temos sum Mnu<infty e l|1/nu^xr|<= Mnu para todo x>=1+c. Pelo teste de Weierstrass,
sumnu=1^infty1nu^x
converge uniformemente em [1+c,infty).

Passo 3

Agora vamos ao termo a termo da derivada. Cada termo é
-ln(nu)nu^x
Para x>=1+c e nu>=1, temos
|ln(nu)nu^x|;=;ln(nu)nu^x ;<=;ln(nu)nu^1+c
Definimos a maiorante
Nnu=ln(nu)nu^1+c
Precisamos mostrar que sumnu=1^inftyNnu converge.

Passo 4

Usamos o Teste da Integral para comparar sum Nnu com
integral1^inftyln(t)t^1+c,dt
Fazendo a mudança u=ln(t), du=dt/t, obtemos
integral1^inftyln(t)t^1+c,dt =integral0^inftyu,e^-c,u,du,
que é a integral de uma função exponencial vezes polinomial e converge (é igual a 1/c^2, mas o valor exato não importa, só que é finito). Portanto sum Nnu converge e, pelo teste de Weierstrass,
-sumnu=1^inftyln(nu)nu^x
converge uniformemente em [1+c,infty).

Resposta

(a) A série sumnu=1^inftynu^-x converge uniformemente em [1+c,infty).
(b) A série derivada -sumnu=1^inftyln(nu),nu^-x converge uniformemente em [1+c,infty).

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