15J. Integrar a fórmula
para obter
Passo 1
O enunciado nos dá a forma integral do resto de ordem
na fórmula de Taylor:
Queremos mostrar que isso equivale a
O conteúdo é integração por partes aplicada repetidamente e uso de recursão no integral
Passo 2
Defina
Então
. Vamos integrar
por partes, tomando
,
.
Então
Então
Aplicando partes:
Passo 3
Avalie o termo de fronteira e reorganize:
- Em
: . - Em
: .
Logo
Passo 4
Escrevendo para
, temos
Ou seja, definindo
, obtemos
Passo 5
Repita recursivamente até
:
Mas
Passo 6
Substituindo
na expressão recursiva, chega-se a