Comparar a ordem de grandeza de integral0^x f(xi) d xi em relação a f(x) quando x infty, para as seguintes funçües f(x) :
e^x.

Passo 1

O enunciado pede para comparar, quando xtoinfty, a ordem de grandeza de
integral0^xf(xi),dxi
em relação a f(x) no caso f(x)=e^x. Vamos usar dois ingredientes: cálculo de primitiva para obter a integral e teste de limite de razão para comparar as ordens de grandeza.

Passo 2

Calculamos diretamente a integral de e^xi:
integral0^xe^xi,dxi =l[e^xir]0^x =e^x-e^0 =e^x-1

Passo 3

Para ver como isso se comporta em relação a e^x, fazemos o limite da razão:
limxtoinftyintegral0^xe^xi,dxie^x =limxtoinftye^x-1e^x =limxtoinftyl(1-e^-xr) =1
Como o limite é um número finito não nulo, concluímos que as duas funções têm a mesma ordem de grandeza.

Resposta

Para f(x)=e^x vale
integral0^xe^xi,dxi=e^x-1 e integral0^xe^xi,dxisim e^x (xtoinfty),
isto é, têm a mesma ordem de grandeza.

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