Determinar o máximo e o mínimo das seguintes funções:
|x|

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos os extremos (máximos e mínimos) da função
f(x)=lvert xrvert,
considerando o domínio de f como todo o conjunto dos reais R. Vamos usar a definição de extremo global e uma análise da forma da curva para resolver.

Passo 2

Primeiro observamos que lvert xrvert é contínua em todo R e cresce sem limite quando lvert xrverttoinfty. Geometricamente, o gráfico é um “V” com vértice em x=0. Logo, qualquer mínimo deve ocorrer no vértice e não há possibilidade de existir máximo finito, pois à medida que lvert xrvert aumenta, f(x) cresce indefinidamente.

Passo 3

Para identificar pontos críticos, podemos olhar na definição de derivada por partes:
f(x)= x, & x>=0, -,x, & x<0
Dessa forma,
f'(x)= 1, & x>0, -1, & x<0,
e a derivada não existe em x=0. Logo, o único candidato a extremo é x=0.

Passo 4

Avaliamo-lo:
f(0)=lvert 0rvert=0
Para qualquer outro xneq0 temos lvert xrvert>0. Portanto, f(0)=0 é o valor mínimo que a função atinge. Por outro lado,
limxto+inftylvert xrvert=+infty e limxto-inftylvert xrvert=+infty,
ou seja, não existe um valor máximo finito.

Resposta

Mínimo global: f(0)=0 em x=0.
Não existe máximo global (a função é não limitada superiormente).

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