Determinar o máximo e o mínimo das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinarmos os extremos (máximos e mínimos) da função
considerando o domínio de como todo o conjunto dos reais . Vamos usar a definição de extremo global e uma análise da forma da curva para resolver.
Passo 2
Primeiro observamos que é contínua em todo e cresce sem limite quando . Geometricamente, o gráfico é um “V” com vértice em . Logo, qualquer mínimo deve ocorrer no vértice e não há possibilidade de existir máximo finito, pois à medida que aumenta, cresce indefinidamente.
Passo 3
Para identificar pontos críticos, podemos olhar na definição de derivada por partes:
Dessa forma,
f'(x)= 1, & x>0, -1, & x<0,
e a derivada não existe em x=0. Logo, o único candidato a extremo é x=0.
Passo 4
Avaliamo-lo:
f(0)=lvert 0rvert=0
Para qualquer outro xneq0 temos lvert xrvert>0. Portanto, f(0)=0 é o valor mínimo que a função atinge. Por outro lado,
limxto+inftylvert xrvert=+infty e limxto-inftylvert xrvert=+infty,
ou seja, não existe um valor máximo finito.
Resposta
Mínimo global: f(0)=0 em x=0.
Não existe máximo global (a função é não limitada superiormente).
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 169.a