Determinar a soma das seguintes disposições da série
1-1 / 2+1 / 3-1 / 4+1 / 5-1 / 6+ldots do log 2:
(a) 1-1 / 2-1 / 4+1 / 3-1 / 8-1 / 5+1 / 5-1 / 10-1 / 12+--ldots.
(b) 1+1 / 3+1 / 3-1 / 2-1 / 4-1 / 5+++ldots.

Passo 1

O enunciado parte da série alternada clássica
1 - tfrac12 + tfrac13 - tfrac14 + tfrac15 - tfrac16 + cdots
cuja soma é ln 2. Nas letras (a) e (b) fazemos duas reordenações dessa mesma série. Vamos identificar o padrão de cada reordenação, montar a soma em função de séries conhecidas e, finalmente, calcular o valor resultante.

Passo 2

Na parte (a) a série foi disposta em “grupos” de um termo positivo seguido de dois termos negativos, extraindo-se sempre os pares de recíprocos pares em ordem crescente. Isso gera a fórmula
Sa =sumn=1^inftyl(tfrac12n-1-tfrac14n-2-tfrac14nr)
Para manipular essa soma, note que
sumn=1^infty14n-2=tfrac12sumn=1^infty12n-1
e
sumn=1^infty14n=tfrac14sumn=1^infty1n.
Chamando
A=sumn=1^infty12n-1
e
H=sumn=1^infty1n,
temos
Sa =A-tfrac12,A-tfrac14,H =tfrac12,A-tfrac14,H
Mas da decomposição H=A+sumn=1^infty12n=A+tfrac12H segue A=tfrac12H. Substituindo em Sa obtém-se
Sa =tfrac12l(tfrac12Hr)-tfrac14H =tfrac14H-tfrac14H =0

Passo 3

Na parte (b) a reordenação toma três termos positivos (os recíprocos das ímpares) seguidos de três termos negativos (os recíprocos das pares), isto é,
Sb =sumn=1^inftyl(tfrac16n-5+tfrac16n-3+tfrac16n-1 ;-;tfrac16n-4-tfrac16n-2-tfrac16nr)
Essa é apenas uma permutação dos mesmos termos +1/(2k-1) e -1/(2k). Observa-se que o “bloco”
tfrac16n-5+tfrac16n-3+tfrac16n-1 -l(tfrac16n-4+tfrac16n-2+tfrac16nr)
tende a zero como ntoinfty (aproximação por diferença de recíprocos em O(1/n^2)). Logo, a soma total é a mesma da série original, pois blocos que tendem a zero não alteram o valor limite quando reordenamos termos de uma série condicionalmente convergente. Portanto
Sb=sumk=1^inftyl(tfrac(-1)^k-1kr) =ln2

Resposta

(a) 0
(b) ln2

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