Determinar a soma das seguintes disposições da série
(a)
.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado parte da série alternada clássica
cuja soma é
. Nas letras (a) e (b) fazemos duas reordenações dessa mesma série. Vamos identificar o padrão de cada reordenação, montar a soma em função de séries conhecidas e, finalmente, calcular o valor resultante.
Passo 2
Na parte (a) a série foi disposta em “grupos” de um termo positivo seguido de dois termos negativos, extraindo-se sempre os pares de recíprocos pares em ordem crescente. Isso gera a fórmula
Para manipular essa soma, note que
e
.
Chamando
e
,
temos
e
Chamando
e
temos
Mas da decomposição
segue
. Substituindo em
obtém-se
Passo 3
Na parte (b) a reordenação toma três termos positivos (os recíprocos das ímpares) seguidos de três termos negativos (os recíprocos das pares), isto é,
Essa é apenas uma permutação dos mesmos termos
e
. Observa-se que o “bloco”
tende a zero como (aproximação por diferença de recíprocos em
). Logo, a soma total é a mesma da série original, pois blocos que tendem a zero não alteram o valor limite quando reordenamos termos de uma série condicionalmente convergente. Portanto
tende a zero como
Resposta
(a)
(b)
(b)