173 As faces de um ângulo poliédrico convexo medem respectivamente 10^circ, 20^circ, 30^circ, 40^circ e x. Dê o intervalo de variação de x.

Passo 1

O enunciado descreve um ângulo poliédrico convexo com 5 faces que se encontram em um vértice, cujos ângulos diedros (isto é, os ângulos entre cada par de faces adjacentes) medem
10^circ,;20^circ,;30^circ,;40^circe x
Queremos encontrar o intervalo de variação possível para x. Para isso, vamos usar um recurso de geometria esférica: ao intersectar as faces que formam o ângulo poliédrico com uma esfera de raio unitário centrada no vértice, obtemos um polígono esférico convexo de 5 lados cujos ângulos interiores são exatamente esses ângulos diedros.

Passo 2

Na geometria esférica, para um polígono convexo de n lados com ângulos interiores alpha1,dots,alphan temos a fórmula
alpha1+alpha2+cdots+alphan ;=; (n-2)pi ;+; E,
onde E é o excesso esférico, isto é, a área do polígono sobre a esfera unitária. Como o polígono cabe em um hemi-espaço da esfera (convexidade do ângulo poliédrico), essa área satisfaz
0 < E < 2pi

Passo 3

Aqui n=5. Substituindo, obtemos
alpha1+cdots+alpha5 ;=; (5-2)pi + E Longrightarrow 3pi < sumi=1^5 alphai < 5pi
No nosso caso
sumi=1^5alphai = 10^circ+20^circ+30^circ+40^circ + x = 100^circ + x.
Convertendo os limites para graus:
3pi = 540^circ, 5pi = 900^circ
Logo
540^circ < 100^circ + x < 900^circ

Passo 4

Isolando x, fica
540^circ - 100^circ < x < 900^circ - 100^circ Longrightarrow 440^circ < x < 800^circ

Resposta

xin (440^circ,,800^circ)

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