173 As faces de um ângulo poliédrico convexo medem respectivamente
,
e
. Dê o intervalo de variação de
.
Passo 1
O enunciado descreve um ângulo poliédrico convexo com 5 faces que se encontram em um vértice, cujos ângulos diedros (isto é, os ângulos entre cada par de faces adjacentes) medem
Queremos encontrar o intervalo de variação possível para
. Para isso, vamos usar um recurso de geometria esférica: ao intersectar as faces que formam o ângulo poliédrico com uma esfera de raio unitário centrada no vértice, obtemos um polígono esférico convexo de 5 lados cujos ângulos interiores são exatamente esses ângulos diedros.
Passo 2
Na geometria esférica, para um polígono convexo de
lados com ângulos interiores
temos a fórmula
onde
é o excesso esférico, isto é, a área do polígono sobre a esfera unitária. Como o polígono cabe em um hemi-espaço da esfera (convexidade do ângulo poliédrico), essa área satisfaz
Passo 3
Aqui
. Substituindo, obtemos
No nosso caso
.
Convertendo os limites para graus:
Convertendo os limites para graus:
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Passo 4
Isolando
, fica