Podem os diedros de um triedro medir respectivamente
e
? Por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um triedro convexo cujos três diedros medem
,
e
. O conteúdo aqui é geometria de triedros e triângulos esféricos: para um triedro convexo, os três diedros se identificam com os ângulos internos de um triângulo desenhado na esfera unitária centrada no vértice.
Passo 2
Quando projetamos as faces de um triedro convexo numa esfera de raio 1 em torno do vértice, cada face intercepta a esfera num “triângulo esférico” cujos ângulos internos são exatamente as medidas dos diedros do triedro.
Passo 3
Em todo triângulo esférico vale a desigualdade
isto é, a soma dos três ângulos internos de um triângulo esférico é sempre maior que
.
Passo 4
Somando os valores dados temos
que é menor que
. Portanto não satisfaz a condição necessária para existir o triângulo esférico correspondente.
Resposta
Não. Como as três medidas somam apenas
, elas não podem ser os ângulos de um triângulo esférico (cuja soma deve exceder
), logo não há triedro convexo com esses diedros.