Podem os diedros de um triedro medir respectivamente 40^circ, 50^circ e 60^circ ? Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um triedro convexo cujos três diedros medem 40^circ, 50^circ e 60^circ. O conteúdo aqui é geometria de triedros e triângulos esféricos: para um triedro convexo, os três diedros se identificam com os ângulos internos de um triângulo desenhado na esfera unitária centrada no vértice.

Passo 2

Quando projetamos as faces de um triedro convexo numa esfera de raio 1 em torno do vértice, cada face intercepta a esfera num “triângulo esférico” cujos ângulos internos são exatamente as medidas dos diedros do triedro.

Passo 3

Em todo triângulo esférico vale a desigualdade
alpha + beta + gamma > 180^circ,
isto é, a soma dos três ângulos internos de um triângulo esférico é sempre maior que 180^circ.

Passo 4

Somando os valores dados temos
40^circ + 50^circ + 60^circ = 150^circ,
que é menor que 180^circ. Portanto não satisfaz a condição necessária para existir o triângulo esférico correspondente.

Resposta

Não. Como as três medidas somam apenas 150^circ, elas não podem ser os ângulos de um triângulo esférico (cuja soma deve exceder 180^circ), logo não há triedro convexo com esses diedros.

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