Para
(-1<p<1), prove que
Essas séries ocorrem na teoria do interferômetro de Fabry-Perot.
(-1<p<1), prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para
, a série infinita
tem soma fechada
O conteúdo envolvido é soma de séries geométricas e a representação de
em termos de exponenciais complexas.
Passo 2
Usamos a fórmula de Euler para escrever
como média de exponenciais:
Logo,
Passo 3
Separando em duas séries geométricas, obtemos
válido porque
.
Passo 4
Reescrevendo
com essas somas:
Passo 5
Para somar as frações, juntamos numerador e denominador:
No numerador aparece
e no denominador
Assim,