Para
(-1<p<1), prove que
Essas séries ocorrem na teoria do interferômetro de Fabry-Perot.
\sum_{n=0}^{\infty} p^{n} \cos n x=\frac{1-p \cos x}{1-2 p \cos x+p^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para -1<p<1, a série infinita
S = \sum_{n=0}^{\infty} p^{n} \cos(n x)
tem soma fechada
S = \frac{1 - p\cos x}{1 - 2p\cos x + p^{2}}.
O conteúdo envolvido é soma de séries geométricas e a representação de \cos(n x) em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Usamos a fórmula de Euler para escrever \cos(n x) como média de exponenciais:
\cos(n x) = \frac{e^{i n x} + e^{-i n x}}{2}.
Logo,
S = \sum_{n=0}^{\infty} p^{n} \cos(n x) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} p^{n}\bigl(e^{i n x} + e^{-i n x}\bigr).

Passo 3

Separando em duas séries geométricas, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \bigl(p\,e^{i x}\bigr)^{n} = \frac{1}{1 - p\,e^{i x}}, \quad \sum_{n=0}^{\infty} \bigl(p\,e^{-i x}\bigr)^{n} = \frac{1}{1 - p\,e^{-i x}},
válido porque \lvert p\,e^{\pm i x}\rvert = \lvert p\rvert < 1.

Passo 4

Reescrevendo 2S com essas somas:
2S = \frac{1}{1 - p\,e^{i x}} + \frac{1}{1 - p\,e^{-i x}}.

Passo 5

Para somar as frações, juntamos numerador e denominador:
2S = \frac{(1 - p\,e^{-i x}) + (1 - p\,e^{i x})} {(1 - p\,e^{i x})(1 - p\,e^{-i x})}.
No numerador aparece
(1 - p\,e^{-i x}) + (1 - p\,e^{i x}) = 2\bigl(1 - p\cos x\bigr),
e no denominador
(1 - p\,e^{i x})(1 - p\,e^{-i x}) = 1 - p\bigl(e^{i x}+e^{-i x}\bigr) + p^{2} = 1 - 2p\cos x + p^{2}.
Assim,
2S = \frac{2\bigl(1 - p\cos x\bigr)}{1 - 2p\cos x + p^{2}} \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{1 - p\cos x}{1 - 2p\cos x + p^{2}}.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty} p^{n} \cos(n x) = \frac{1 - p\cos x}{1 - 2p\cos x + p^{2}}.

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