Para
(-1<p<1), prove que
Essas séries ocorrem na teoria do interferômetro de Fabry-Perot.
sumn=0^infty p^n cos n x=1-p cos x1-2 p cos x+p^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para -1<p<1, a série infinita
S = sumn=0^infty p^n cos(n x)
tem soma fechada
S = 1 - pcos x1 - 2pcos x + p^2
O conteúdo envolvido é soma de séries geométricas e a representação de cos(n x) em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Usamos a fórmula de Euler para escrever cos(n x) como média de exponenciais:
cos(n x) = e^i n x + e^-i n x2
Logo,
S = sumn=0^infty p^n cos(n x) = 12 sumn=0^infty p^nl(e^i n x + e^-i n xr)

Passo 3

Separando em duas séries geométricas, obtemos
sumn=0^infty l(p,e^i xr)^n = 11 - p,e^i x, sumn=0^infty l(p,e^-i xr)^n = 11 - p,e^-i x,
válido porque lvert p,e^pm i xrvert = lvert prvert < 1.

Passo 4

Reescrevendo 2S com essas somas:
2S = 11 - p,e^i x + 11 - p,e^-i x

Passo 5

Para somar as frações, juntamos numerador e denominador:
2S = (1 - p,e^-i x) + (1 - p,e^i x) (1 - p,e^i x)(1 - p,e^-i x)
No numerador aparece
(1 - p,e^-i x) + (1 - p,e^i x) = 2l(1 - pcos xr),
e no denominador
(1 - p,e^i x)(1 - p,e^-i x) = 1 - pl(e^i x+e^-i xr) + p^2 = 1 - 2pcos x + p^2
Assim,
2S = 2l(1 - pcos xr)1 - 2pcos x + p^2 Longrightarrow S = 1 - pcos x1 - 2pcos x + p^2

Resposta

sumn=0^infty p^n cos(n x) = 1 - pcos x1 - 2pcos x + p^2

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