Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
cosh ^-1 z=ln (z+raizz^2-1),

Passo 1

O enunciado pede para provar que
cosh^-1 z ;=;lnl(z+raizz^2-1r)
O conteúdo envolvido é a função hiperbólica inversa e sua expressão em termos de exponenciais. Vamos usar a definição
cosh w = e^w+e^-w2
e resolver para w dado cosh w = z.

Passo 2

Defina w = cosh^-1 z. Então, por definição de inversa,
cosh w = z
Substituindo a expressão em termos de exponenciais, fica
e^w+e^-w2 = z

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e depois por e^w, obtemos
e^2w + 1 = 2,z,e^w
Isso é uma equação quadrática em e^w.

Passo 4

Faça a troca t = e^w. A equação vira
t^2 - 2,z,t + 1 = 0
Pelo discriminante,
t = 2z pm raiz(2z)^2-42 = z pm raizz^2-1
Como t = e^w>0, a raiz válida é
e^w = z + raizz^2-1

Passo 5

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados,
w = lnl(e^wr) = lnl(z + raizz^2-1r)
Mas w = cosh^-1 z. Portanto
cosh^-1 z = lnl(z + raizz^2-1r)

Resposta

cosh^-1 z = lnl(z + raizz^2-1r)

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