Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
,
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
O conteúdo envolvido é a função hiperbólica inversa e sua expressão em termos de exponenciais. Vamos usar a definição
e resolver para
dado
.
Passo 2
Defina
. Então, por definição de inversa,
Substituindo a expressão em termos de exponenciais, fica
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
e depois por
, obtemos
Isso é uma equação quadrática em
.
Passo 4
Faça a troca
. A equação vira
Pelo discriminante,
Como
, a raiz válida é
Passo 5
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados,
Mas
. Portanto