Mostre que
Sugestão: 1. Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.
2. Resolva para a exponencial e então para o expoente.
\operatorname{cosh} ^{-1} z=\ln \left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right),

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\operatorname{cosh}^{-1} z \;=\;\ln\bigl(z+\sqrt{z^{2}-1}\bigr).
O conteúdo envolvido é a função hiperbólica inversa e sua expressão em termos de exponenciais. Vamos usar a definição
\operatorname{cosh} w = \frac{e^{w}+e^{-w}}{2}
e resolver para w dado \operatorname{cosh} w = z.

Passo 2

Defina w = \operatorname{cosh}^{-1} z. Então, por definição de inversa,
\operatorname{cosh} w = z.
Substituindo a expressão em termos de exponenciais, fica
\frac{e^{w}+e^{-w}}{2} = z.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e depois por e^{w}, obtemos
e^{2w} + 1 = 2\,z\,e^{w}.
Isso é uma equação quadrática em e^{w}.

Passo 4

Faça a troca t = e^{w}. A equação vira
t^{2} - 2\,z\,t + 1 = 0.
Pelo discriminante,
t = \frac{2z \pm \sqrt{(2z)^{2}-4}}{2} = z \pm \sqrt{z^{2}-1}.
Como t = e^{w}>0, a raiz válida é
e^{w} = z + \sqrt{z^{2}-1}.

Passo 5

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados,
w = \ln\bigl(e^{w}\bigr) = \ln\bigl(z + \sqrt{z^{2}-1}\bigr).
Mas w = \operatorname{cosh}^{-1} z. Portanto
\operatorname{cosh}^{-1} z = \ln\bigl(z + \sqrt{z^{2}-1}\bigr).

Resposta

\operatorname{cosh}^{-1} z = \ln\bigl(z + \sqrt{z^{2}-1}\bigr).

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