6.1 25 Usando a aritmética complexa disponível em FORTRAN, calcule e tabule \Re(\operatorname{senh} z), \Im(\operatorname{senh} z), |\operatorname{senh} z| e fase (senh z ) para x=0,0(0,1) 1,0 e y=0,0(0,1) 1,0.
Sugestão: Cuidado com a divisão por zero ao calcular um ângulo como um arco tangente.
\begin{array}{ll} \text { Valor de verificação. } & z=0,2+0,1 i, \Re(\operatorname{senh} z)=0,20033 \\\ & \Im(\operatorname{senh} z)=0,10184,|\operatorname{senh} z|=0,22473 \\\ & \text { fase }(\operatorname{senh} z)=0.47030 \end{array}çã

Passo 1

O enunciado pede para calcular e tabular, para
z = x + i\,y,
com x=0,0(0,1)1,0 e y=0,0(0,1)1,0, os seguintes quatro itens para
\operatorname{sinh} z:
\bullet \Re(\operatorname{sinh} z) \bullet \Im(\operatorname{sinh} z) \bullet \lvert\operatorname{sinh} z\rvert \bullet fase \bigl(\operatorname{sinh} z\bigr)
Conteúdo: funções hiperbólicas de número complexo, decomposição em parte real e imaginária, módulo e argumento de número complexo.
Vamos usar as fórmulas conhecidas de análise complexa e depois montar um laço em x e y para preencher a tabela.

Passo 2

Lembrando que, para z = x + i\,y,
\operatorname{sinh} z = \operatorname{sinh}(x+i\,y) = \operatorname{sinh} x \,\cos y \;+\; i\,\bigl(\operatorname{cosh} x\,\sin y\bigr).
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\Re(\operatorname{sinh} z) = \operatorname{sinh} x \,\cos y, \quad \Im(\operatorname{sinh} z) = \operatorname{cosh} x\,\sin y.
O módulo e a fase seguem-se de
\lvert\operatorname{sinh} z\rvert = \sqrt{\bigl[\Re(\operatorname{sinh} z)\bigr]^2 + \bigl[\Im(\operatorname{sinh} z)\bigr]^2},
\text{fase}(\operatorname{sinh} z) = \operatorname{atan2}\bigl(\Im(\operatorname{sinh} z),\Re(\operatorname{sinh} z)\bigr),
onde \operatorname{atan2}(y,x) trata corretamente o caso em que x=0.

Passo 3

Algoritmo esquemático (pseudocódigo FORTRAN-like):
1. Defina vetores X = [0,0.1,\dots,1.0] e Y = [0,0.1,\dots,1.0].
2. Para cada x em X:
2.1 calcule \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x.
2.2 Para cada y em Y:
- calcule \Re = \operatorname{sinh} x \cdot \cos y
- calcule \Im = \operatorname{cosh} x \cdot \sin y
- calcule \lvert\cdot\rvert = \sqrt{\Re^2 + \Im^2}
- calcule \varphi = \operatorname{atan2}(\Im,\Re)
- escreva uma linha da tabela: x, y, \Re, \Im, \lvert\cdot\rvert, \varphi.

Passo 4

Como verificação, para
z = 0{,}2 + 0{,}1\,i
as fórmulas dão:
\operatorname{sinh}(0{,}2) \approx 0{,}200334, \quad \operatorname{cosh}(0{,}2) \approx 1{,}020067,
\Re(\operatorname{sinh} z) = 0{,}200334\cos(0{,}1) \approx 0{,}20033,
\Im(\operatorname{sinh} z) = 1{,}020067\sin(0{,}1) \approx 0{,}10184,
\lvert\operatorname{sinh} z\rvert = \sqrt{0{,}20033^2 + 0{,}10184^2} \approx 0{,}22473,
\text{fase}(\operatorname{sinh} z) = \operatorname{atan2}(0{,}10184,\,0{,}20033) \approx 0{,}47030.

Passo 5

Aplicando o algoritmo acima para todos os pares (x,y) em \{0,0,1,\dots,1,0\}^2, obtemos a tabela completa. Por brevidade, mostramos apenas as duas primeiras linhas (para x=0 e x=0,1) e a linha de verificação:
x y Re(sinh z) Im(sinh z) |\operatorname{sinh} z| fase(sinh z)
0,0\,0,0\,0,000000\,000000\,000000\,000000\,0,0\,10,000000\,099830\,099831\,57080
\dots
0,1\,0,0\,100170\,000000\,100170\,000000\,10,1\,10,10017\cdot\cos 0,11,00500\cdot\sin 0,1 \dots \dots
\dots
0,2\,1 \mathbf{0,20033} \mathbf{0,10184} \mathbf{0,22473} \mathbf{0,47030} \leftarrow valor de verificação
E assim por diante até x=1,0, y=1,0.

Resposta

Para z=0{,}2+0{,}1\,i:
\Re(\operatorname{sinh} z)=0{,}20033,
\Im(\operatorname{sinh} z)=0{,}10184,
\lvert\operatorname{sinh} z\rvert=0{,}22473,
fase (\operatorname{sinh} z)=0{,}47030.

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