(CM RJ-2006) Sabendo-se que
\frac{x^{2}+y^{2}+2 x+2 x y+2 y-15}{x+y-3}=13,
determine x+y.
A) 3
B) 5
C) 7
D) 8
E) 11

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{x^{2}+y^{2}+2x+2xy+2y-15}{x+y-3}=13
e pede o valor de x+y. O conteúdo aqui é manipulação algébrica por meio de uma mudança de variável para simplificar numerador e denominador.

Passo 2

Definimos a soma
S = x+y.
Reescrevemos o numerador em termos de S: como x^{2}+y^{2}+2xy = (x+y)^{2} = S^{2}, temos
x^{2}+y^{2}+2x+2xy+2y-15 = S^{2} + 2(x+y) -15 = S^{2} + 2S -15.
O denominador fica
x+y-3 = S - 3.

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
\frac{S^{2} + 2S - 15}{S - 3} = 13.
Multiplicando ambos os lados por S-3, resulta
S^{2} + 2S - 15 = 13(S - 3).
Desenvolvendo:
S^{2} + 2S - 15 = 13S - 39 \;\Longrightarrow\; S^{2} -11S +24 = 0.

Passo 4

A equação quadrática fatoriza-se como
(S-8)(S-3) = 0
de onde S=8 ou S=3. Mas S=3 anularia o denominador S-3, o que não é permitido. Logo, permanece
S = x+y = 8.

Resposta

(D)

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