(CM Brasília-2009) Simplifique a expressão
\frac{1+\frac{a-b}{a+b}}{1-\frac{a-b}{a+b}}: \frac{1+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}
a) a / b
b) a^{2} / b
c) a / b^{2}
d) b/a
e) a^{2} / b^{2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{1+\frac{a-b}{a+b}}{1-\frac{a-b}{a+b}} : \frac{1+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}},
que é um problema de frações algébricas compostas e razão de frações. Vamos usar soma de frações (colocar sobre denominador comum) e depois divisão de frações.

Passo 2

Primeiro simplificamos
1+\frac{a-b}{a+b} \quad\text{e}\quad 1-\frac{a-b}{a+b}.
Colocando no mesmo denominador,
1+\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)+(a-b)}{a+b} =\frac{2a}{a+b},
1-\frac{a-b}{a+b} =\frac{(a+b)-(a-b)}{a+b} =\frac{2b}{a+b}.
Logo,
\frac{1+\frac{a-b}{a+b}}{1-\frac{a-b}{a+b}} =\frac{\frac{2a}{a+b}}{\frac{2b}{a+b}} =\frac{a}{b}.

Passo 3

Agora simplificamos
1+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \quad\text{e}\quad 1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Analogamente,
1+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} =\frac{(a^{2}+b^{2})+(a^{2}-b^{2})}{a^{2}+b^{2}} =\frac{2a^{2}}{a^{2}+b^{2}},
1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} =\frac{(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})}{a^{2}+b^{2}} =\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Assim,
\frac{1+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{1-\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}} =\frac{\frac{2a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}} =\frac{a^{2}}{b^{2}}.

Passo 4

A expressão original é a razão entre os dois resultados:
\frac{a/b}{\,a^{2}/b^{2}\,} =\frac{a}{b}\times\frac{b^{2}}{a^{2}} =\frac{b}{a}.

Resposta

d) \displaystyle \frac{b}{a}

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