(CM RJ-2007) A forma simplificada da expressão
\frac{a^{2} c-\left(b^{2} c+b^{2} d\right)+a^{2} d}{c\left(a^{2}+b^{2}\right)+2(a b c+a b d)+d\left(a^{2}+b^{2}\right)}
é:
a) \frac{a+b}{a b}
b) \frac{c-d}{c+d}
c) \frac{a-b}{a b}
d) \frac{a-b}{a+b}
e) \frac{d+c}{d c}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{a^{2}c-\bigl(b^{2}c+b^{2}d\bigr)+a^{2}d}{c\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)+2\,(ab\,c+ab\,d)+d\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)}.
O conteúdo aqui é fatoração algébrica: vamos fatorar numerador e denominador e depois cancelar fatores comuns.

Passo 2

No numerador temos
a^{2}c -\bigl(b^{2}c+b^{2}d\bigr) + a^{2}d = a^{2}(c+d) - b^{2}(c+d) = (c+d)\,(a^{2}-b^{2}).
Além disso, a^{2}-b^{2} é diferença de quadrados, logo
a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b),
de modo que o numerador fica
(c+d)\,(a-b)(a+b).

Passo 3

No denominador temos
c(a^{2}+b^{2}) + 2ab\,(c+d) + d(a^{2}+b^{2}) = (a^{2}+b^{2})(c+d) + 2ab\,(c+d) = (c+d)\Bigl((a^{2}+b^{2})+2ab\Bigr).
Mas (a^{2}+b^{2})+2ab = (a+b)^{2}. Logo o denominador é
(c+d)\,(a+b)^{2}.

Passo 4

Substituindo as fatorações, a expressão vira
\frac{(c+d)\,(a-b)(a+b)}{(c+d)\,(a+b)^{2}} =\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}} =\frac{a-b}{a+b},
desde que c+d\neq0 e a+b\neq0.

Resposta

d) \displaystyle \frac{a-b}{a+b}

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