(CM Fortaleza-2007) Simplificando a
expressão \frac{\left[1-\left(\frac{x}{y}\right)^{-2}\right] x^{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}+2 \sqrt{x y}}, com x>y>0 obtemos
a) x+y
b) x-y
c) y-x
d) -1
e) 0

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\bigl[1-\bigl(\frac{x}{y}\bigr)^{-2}\bigr]\,x^{2}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}+2\sqrt{x y}}
sabendo que x>y>0. O conteúdo usado será: propriedades de potências, soma de quadrados e fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Dentro dos colchetes temos \bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)^{-2}. Usando
\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{-n} = \bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{n},
obtemos
\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)^{-2} =\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2} =\frac{y^{2}}{x^{2}}.
Logo
1 - \bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)^{-2} =1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Reescrevendo 1 - \tfrac{y^{2}}{x^{2}} como fração única:
1 - \frac{y^{2}}{x^{2}} =\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2}, o numerador total vira
\bigl(1 - \tfrac{y^{2}}{x^{2}}\bigr)\,x^{2} =x^{2}-y^{2}.

Passo 4

Agora o denominador:
(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} + 2\sqrt{x y} = \bigl(x + y - 2\sqrt{x y}\bigr) + 2\sqrt{x y} = x + y.

Passo 5

A expressão original fica então
\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}.
Como x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y), temos
\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y.

Resposta

b) x - y

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