(CM RJ-2007) Sendo
\mathrm{A}=\sqrt{17-2 \sqrt{30}}-\sqrt{17+2 \sqrt{30}} o valor de (\mathrm{A}+2 \sqrt{2})^{2007}
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (A+2\sqrt{2})^{2007}, onde
A = \sqrt{17 - 2\sqrt{30}} \;-\;\sqrt{17 + 2\sqrt{30}}.
O conteúdo envolve simplificar radicais do tipo \sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} como soma ou diferença de raízes simples e, em seguida, aplicar propriedades de potência.

Passo 2

Procuramos m,n>0 tais que
(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2 \;=\; m+n-2\sqrt{mn} \;=\; 17 - 2\sqrt{30}.
Isto implica
m+n = 17, \quad mn = 30.

Passo 3

Resolvendo m+n=17 e mn=30, obtemos \{m,n\} = \{15,2\}. Logo,
\sqrt{17 - 2\sqrt{30}} = \sqrt{15} - \sqrt{2}, \quad \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{15} + \sqrt{2}.

Passo 4

Substituindo em A, temos
A = (\sqrt{15}-\sqrt{2}) - (\sqrt{15}+\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}.
Então
A + 2\sqrt{2} = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 0.

Passo 5

Por fim, como a base é zero e o expoente positivo ímpar,
0^{2007} = 0.

Resposta

(a)

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