(CM RJ-2007) Se \left(n+\frac{1}{n}\right)^{2}=5, então n^{6}+\frac{1}{n^{6}} vale:
a) 9
b) 5 \sqrt{5}
c) 18
d) 27
e) 125

Passo 1

O enunciado dá que \bigl(n + \tfrac{1}{n}\bigr)^{2} = 5 e pede o valor de n^{6} + \tfrac{1}{n^{6}}. Vamos usar manipulações algébricas de potências e somas simétricas de inversos.

Passo 2

Expandindo \bigl(n + \tfrac{1}{n}\bigr)^{2} obtemos
(n + \tfrac{1}{n})^{2} = n^{2} + 2 + \tfrac{1}{n^{2}} = 5
Logo,
n^{2} + \tfrac{1}{n^{2}} = 5 - 2 = 3.

Passo 3

Seja A = n^{2} + \tfrac{1}{n^{2}}. Usamos a identidade
A^{3} = \bigl(n^{2} + \tfrac{1}{n^{2}}\bigr)^{3} = n^{6} + \tfrac{1}{n^{6}} + 3\bigl(n^{2} + \tfrac{1}{n^{2}}\bigr) = n^{6} + \tfrac{1}{n^{6}} + 3A.
Dessa forma,
n^{6} + \tfrac{1}{n^{6}} = A^{3} - 3A = 3^{3} - 3\cdot3 = 27 - 9 = 18.

Resposta

18

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