(CM Brasilia-2009) Considere a expressão \mathrm{x}=(\sqrt{10+\sqrt{19}}) \cdot(\sqrt{10-\sqrt{19}}). O valor positivo de x é
a) 9
b) 19
c) 29
d) 39
e) 109

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\displaystyle x=(\sqrt{10+\sqrt{19}})\,\cdot\,(\sqrt{10-\sqrt{19}})
e pede o valor positivo de x. Aqui usaremos a propriedade de radicais que permite combinar o produto de raízes numa só raiz e o fato de que (a+b)(a-b)=a^2 - b^2.

Passo 2

Aplicando a propriedade
x = \sqrt{(10+\sqrt{19})(10-\sqrt{19})}.

Passo 3

Calculemos o produto dentro da raiz usando produto de conjugados:
(10+\sqrt{19})(10-\sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81.

Passo 4

Portanto
x = \sqrt{81} = 9
e, como queremos o valor positivo de x, temos x=9.

Resposta

a) 9

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