Mostre que os inteiros 1111,111111,11111111, ldots (número de algarismos par), sāo todos números compostos.

Passo 1

O que queremos é mostrar que todo inteiro formado só por algarismos “ 1” e com número de dígitos par (isto é, 1111, 111111, 11111111, ···) não é primo, mas sim composto. O conteúdo principal aqui é usar a fatoração pela diferença de quadrados para números da forma 10^n-1.

Passo 2

Seja m>=2 um inteiro qualquer e considere o número com 2m algarismos “ 1”:
N = underbrace11cdots12m vezes
Esse número pode ser escrito como
N = 10^2m-19,
pois 10^2m-1 é a sequência de 2m dígitos “ 9” e dividir por 9 troca cada “ 9” por “ 1”.

Passo 3

Agora usamos a fatoração de diferença de quadrados em 10^2m-1:
10^2m-1 = l(10^m-1r),l(10^m+1r)
Dividindo ambos os lados por 9, temos
N = 10^2m-19 = 10^m-19;cdot;(10^m+1)
Note que 10^m-19 é justamente o repunit com m dígitos “ 1” (maior que 1 pois m>=2) e 10^m+1>1. Assim, N é produto de dois inteiros estritamente maiores que 1.

Resposta

Portanto, todo número formado só por “ 1” com número de dígitos par é composto.

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