Mostre que os inteiros (número de algarismos par), sāo todos números compostos.
Passo 1
O que queremos é mostrar que todo inteiro formado só por algarismos “” e com número de dígitos par (isto é, , , , ···) não é primo, mas sim composto. O conteúdo principal aqui é usar a fatoração pela diferença de quadrados para números da forma .
Passo 2
Seja um inteiro qualquer e considere o número com algarismos “”:
Esse número pode ser escrito como
N = 10^2m-19,
pois 10^2m-1 é a sequência de 2m dígitos “9” e dividir por 9 troca cada “9” por “1”.
Passo 3
Agora usamos a fatoração de diferença de quadrados em 10^2m-1:
10^2m-1 = l(10^m-1r),l(10^m+1r)
Dividindo ambos os lados por 9, temos
N = 10^2m-19 = 10^m-19;cdot;(10^m+1)
Note que 10^m-19 é justamente o repunit com m dígitos “1” (maior que 1 pois m>=2) e 10^m+1>1. Assim, N é produto de dois inteiros estritamente maiores que 1.
Resposta
Portanto, todo número formado só por “1” com número de dígitos par é composto.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 282