4.301 Resolva as inequações:
(-x^{2}+5 x-6<0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-x^2 + 5x - 6 < 0
O conteúdo envolvido é inequação do segundo grau; vamos precisar transformar o sinal, fatorar o polinômio e fazer estudo de sinais.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por -1, lembrando que isso inverte a desigualdade, obtendo
x^2 - 5x + 6 > 0
Agora temos uma inequação quadrática padrão com coeficiente líder positivo.

Passo 3

Fatoramos o trinômio x^2 - 5x + 6. Procuramos dois números cuja soma seja 5 e cujo produto seja 6; esses números são 2 e 3. Logo,
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Passo 4

Estudamos o sinal de (x - 2)(x - 3) em cada intervalo definido pelas raízes x = 2 e x = 3:
No intervalo (-infty,2) temos
x-2<0, x-3<0 Longrightarrow (x-2)(x-3)>0
Em (2,3) um fator é negativo e o outro positivo, logo
(x-2)(x-3)<0
Em (3,infty) ambos são positivos, então
(x-2)(x-3)>0

Passo 5

Queremos (x-2)(x-3)>0, portanto a solução é a união dos intervalos onde o produto é positivo.

Resposta

(-infty,2),cup,(3,infty)

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