Achar a área limitada pelo laço da curva
x^5+y^5-5 a x^2 y^2=0

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pelo laço da curva
x^5+y^5-5a,x^2y^2=0
Aqui vamos usar coordenadas polares e a fórmula da área em coordenadas polares, além de transformações de variável para avaliar o integral resultante.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta e y=rsintheta. Substituindo na equação da curva dá
r^5l(cos^5theta+sin^5thetar)-5a,r^4cos^2thetasin^2theta=0
Como buscamos r>0, isolamos r:
r=5a,cos^2thetasin^2thetacos^5theta+sin^5theta

Passo 3

O laço fecha quando r=0, ou seja, quando cos^2thetasin^2theta=0, que ocorre em theta=0 e theta=tfracpi2. Para thetain(0,tfracpi2) o denominador cos^5theta+sin^5theta é positivo e finito. Logo o laço está descrito para
0<=theta<=tfracpi2

Passo 4

A área em coordenadas polares é
A=12integral0^pi/2r^2,dtheta =12integral0^pi/2!gl(5a,cos^2thetasin^2thetacos^5theta+sin^5thetagr)^2dtheta =25a^22integral0^pi/2cos^4theta,sin^4theta(cos^5theta+sin^5theta)^2,dtheta
Chamemos
I=integral0^pi/2cos^4theta,sin^4theta(cos^5theta+sin^5theta)^2,dtheta,
assim A=tfrac25a^22I.

Passo 5

Fazemos a troca de variável t=tantheta, com dtheta=dt/(1+t^2), sintheta=t/raiz1+t^2, costheta=1/raiz1+t^2. Então um cálculo direto mostra
I=integral0^inftyt^4(1+t^5)^2,dt

Passo 6

Para avaliar
integral0^inftyt^4(1+t^5)^2,dt usamos u=t^5, du=5t^4dt, o que dá
integral0^inftyt^4(1+t^5)^2,dt =15integral0^inftydu(1+u)^2 =15l[-tfrac11+ur]0^infty =15
Logo I=tfrac15 e a área é
A=25a^22times15=5a^22

Resposta

boxedA=5a^22

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