Achar a área limitada pelo laço da curva
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pelo laço da curva
Aqui vamos usar coordenadas polares e a fórmula da área em coordenadas polares, além de transformações de variável para avaliar o integral resultante.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
e
. Substituindo na equação da curva dá
Como buscamos
, isolamos
:
Passo 3
O laço fecha quando
, ou seja, quando
, que ocorre em
e
. Para
o denominador
é positivo e finito. Logo o laço está descrito para
Passo 4
A área em coordenadas polares é
Chamemos
assim
.
Passo 5
Fazemos a troca de variável
, com
,
,
. Então um cálculo direto mostra
Passo 6
Para avaliar
usamos
,
, o que dá
Logo
e a área é