Demonstrar que, somando-se
le a , virá:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
sumnu=1^nnu(nu+1)(nu+2)cdots(nu+k) =n(n+1)(n+2)cdots(n+k+1)k+2
O conteúdo principal é usar soma telescópica. Para isso, vamos achar uma identidade envolvendo termos do tipo nu(nu+1)cdots(nu+k+1) de modo que sua soma de nu=1 a n “cancele” quase tudo.

Passo 2

Repare na diferença entre produtos de k+2 fatores consecutivos:
nu(nu+1)cdots(nu+k+1);-;(nu-1),nu(nu+1)cdots(nu+k)
Fatorando nu(nu+1)cdots(nu+k) em comum, vem
nu(nu+1)cdots(nu+k) l[(nu+k+1)-(nu-1)r] =nu(nu+1)cdots(nu+k),(k+2)
Logo estabelecemos a identidade
nu(nu+1)cdots(nu+k+1)-(nu-1),nu(nu+1)cdots(nu+k) =(k+2),nu(nu+1)cdots(nu+k)

Passo 3

Agora somamos essa identidade para nu=1,2,dots,n. No lado esquerdo temos uma soma telescópica:
sumnu=1^nl[nu(nu+1)cdots(nu+k+1)-(nu-1)nu(nu+1)cdots(nu+k)r]
Todos os termos internos se cancelam em cadeia, sobrando apenas o primeiro pedaço no nu=n menos o segundo pedaço no nu=1. Mas para nu=1 o termo (nu-1)nucdots(nu+k) é zero, pois nu-1=0. Assim
sumnu=1^nl[nu(nu+1)cdots(nu+k+1)-(nu-1)nu(nu+1)cdots(nu+k)r] =n(n+1)cdots(n+k+1)
No lado direito, a soma da identidade dá
sumnu=1^n(k+2),nu(nu+1)cdots(nu+k) =(k+2)sumnu=1^nnu(nu+1)cdots(nu+k)

Passo 4

Igualando as duas expressões da soma telescópica, obtemos
(k+2)sumnu=1^nnu(nu+1)cdots(nu+k) =n(n+1)cdots(n+k+1)
Basta dividir ambos os lados por k+2 para isolar a soma desejada:
sumnu=1^nnu(nu+1)cdots(nu+k) =n(n+1)cdots(n+k+1)k+2

Resposta

sumnu=1^nnu(nu+1)(nu+2)cdots(nu+k) =n(n+1)(n+2)cdots(n+k+1)k+2

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