Provar que o raio de curvatura em um ponto da curva polar r=f(theta) é:
[r^2+(d rd theta)^2]^3 / 2r^2-r d^2 rd theta^2+2(d rd theta)^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura de uma curva dada em coordenadas polares por r=f(theta). Vamos usar a parametrização no plano
x(theta)=r(theta)costheta, y(theta)=r(theta)sintheta
e a fórmula de curvatura para uma curva parametrizada por theta:
kappa=l|x'(theta),y''(theta)-y'(theta),x''(theta)r|l[x'(theta)^2+y'(theta)^2r]^3/2,
depois inverter kappa para obter o raio de curvatura rho=1/kappa.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas. Chamando
r'= drdtheta, r''=d^2rdtheta^2,
temos
x'=r'costheta - rsintheta, y'=r'sintheta + rcostheta
Daí o quadrado da velocidade é
x'^2+y'^2 =(r'costheta -rsintheta)^2+(r'sintheta +rcostheta)^2 =r^2+(r')^2

Passo 3

Agora as segundas derivadas:
x''=l(r'costheta -rsinthetar)' =r''costheta-2,r'sintheta -rcostheta,
y''=l(r'sintheta +rcosthetar)' =r''sintheta+2,r'costheta -rsintheta

Passo 4

Formemos o determinante do numerador da curvatura:
x'y''-y'x'' =(r'costheta -rsintheta),(r''sintheta+2r'costheta-rsintheta) -(r'sintheta+rcostheta),(r''costheta-2r'sintheta-rcostheta)
Fazendo a expansão e usando sin^2theta+cos^2theta=1 obtemos
x'y''-y'x''=r^2-r,r''+2,(r')^2

Passo 5

Substituindo em kappa
kappa =l|r^2-r,r''+2(r')^2r|l[r^2+(r')^2r]^3/2
Como o raio de curvatura é rho=1/kappa, temos

Passo 6

rho =l[r^2+(r')^2r]^3/2r^2-r,r''+2(r')^2,
que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

rho=l[r^2+l(tfracdrdthetar)^2r]^3/2 r^2-r,tfracd^2rdtheta^2+2l(tfracdrdthetar)^2

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