Provar que o raio de curvatura em um ponto da curva polar
é:
Passo 1
O enunciado pede o raio de curvatura de uma curva dada em coordenadas polares por
. Vamos usar a parametrização no plano
e a fórmula de curvatura para uma curva parametrizada por
:
depois inverter
kappa para obter o raio de curvatura
rho=1/kappa .
Passo 2
Calculemos as primeiras derivadas. Chamando
temos
Daí o quadrado da velocidade é
Passo 3
Agora as segundas derivadas:
Passo 4
Formemos o determinante do numerador da curvatura:
Fazendo a expansão e usando
sin^2theta+cos^2theta=1 obtemos
Passo 5
Substituindo em
kappa dá
Como o raio de curvatura é
rho=1/kappa , temos
Passo 6
que é exatamente a expressão pedida.