Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno de O X, de cada uma das seguintes porções de curvas.
y^{2}=9 x, de x=0 a x=4. 49 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo O X, da porção da curva dada por y^{2}=9x para 0\le x\le4. O conteúdo necessário é geometria de superfícies de revolução, usando a fórmula
S=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx.

Passo 2

Da equação y^{2}=9x tomamos o ramo superior
y=3\sqrt{x}.
Derivando em relação a x,
y'=\frac{d}{dx}(3x^{1/2})=\frac{3}{2}x^{-1/2}=\frac{3}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Calculamos o fator de alongamento:
1+(y')^{2} =1+\frac{9}{4x} =\frac{4x+9}{4x}, \quad \sqrt{1+(y')^{2}} =\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo na fórmula de área,
S =2\pi\int_{0}^{4}y\,\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx =2\pi\int_{0}^{4}3\sqrt{x}\,\frac{\sqrt{4x+9}}{2\sqrt{x}}\,dx =3\pi\int_{0}^{4}\sqrt{4x+9}\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{4}\sqrt{4x+9}\,dx usamos a mudança de variável u=4x+9, du=4\,dx. Quando x=0, u=9; quando x=4, u=25. Assim,
\int_{0}^{4}\sqrt{4x+9}\,dx =\int_{9}^{25}\frac{\sqrt{u}}{4}\,du =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_{9}^{25} =\frac{1}{6}\bigl(25^{3/2}-9^{3/2}\bigr) =\frac{1}{6}(125-27) =\frac{98}{6} =\frac{49}{3}.
Portanto,
S=3\pi\cdot\frac{49}{3}=49\pi.

Resposta

49\pi

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