Achar o comprimento da circunferência de um círculo usando:
(a) a representação paramétrica
x=a cos theta, y=a sen theta ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da circunferência de raio a usando a representação paramétrica
x = acostheta, y = asentheta,
com theta variando de 0 a 2pi. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas, que se obtém integrando o módulo da velocidade raizl(dxdthetar)^2 + l(dydthetar)^2.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a theta:
dxdtheta = -asentheta, dydtheta = acostheta

Passo 3

Formamos o módulo da velocidade:
raizl(tfracdxdthetar)^2 + l(tfracdydthetar)^2 = raiz(-asentheta)^2 + (acostheta)^2 = raiza^2sen^2theta + a^2cos^2theta = raiza^2 = a

Passo 4

Integramos esse valor constante de theta=0 até theta=2pi:
Comprimento = integral0^2pi a ,dtheta = al[thetar]0^2pi = 2pi a

Resposta

O comprimento da circunferência é 2pi a.

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