Achar o comprimento da circunferência de um círculo usando:
(b) a representação paramétrica
x=a 1-t^21+t^2, y=a 2 t1+t^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da circunferência do círculo de raio a usando a representação paramétrica
x=a,1-t^21+t^2, y=a,2t1+t^2
O conteúdo que vamos usar é o comprimento de arco em parametrização:
L=integralt1^t2 raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 ,dt
Aqui o parâmetro t varia de -infty a +infty para descrever toda a circunferência.

Passo 2

Calculemos tfracdxdt e tfracdydt.
Para
x=a,1-t^21+t^2,
usamos a regra do quociente e obtemos
dxdt =a, (-2t)(1+t^2)-(1-t^2)(2t)(1+t^2)^2 =-4a,t(1+t^2)^2
Para
y=a,2t1+t^2,
temos
dydt =a, 2(1+t^2)-2tcdot2t(1+t^2)^2 =2a,(1-t^2)(1+t^2)^2

Passo 3

Agora somamos os quadrados dentro da raiz:
l(tfracdxdtr)^2 +l(tfracdydtr)^2 =16a^2t^2+4a^2(1-t^2)^2(1+t^2)^4 =4a^2l(4t^2+(1-t^2)^2r)(1+t^2)^4
Como (1-t^2)^2+4t^2=1-2t^2+t^4+4t^2=(1+t^2)^2,
raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =2a,(1+t^2)(1+t^2)^2 =2a1+t^2

Passo 4

O comprimento da circunferência é
L=integral-infty^infty2a1+t^2,dt =2al[arctan tr]-infty^infty =2al(tfracpi2-(-tfracpi2)r) =2pi a

Resposta

O comprimento da circunferência é 2pi a.

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