Mostrar que (4-72) reduz-se a
S=integral duplaRu v|partial(x, y)partial(u, v)| d u d v=integral duplaRx y d x d y
quando u, v são coordenadas curvilíneas numa área plana Rx y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula geral de área de uma superfície parametrizada
S=integral duplaRraizEG - F^2,du,dv
reduz-se à expressão
S=integral duplaRuvl|partial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv =integral duplaRxydx,dy
quando a superfície é um domínio planar z=0 e (u,v) são coordenadas curvilíneas na área plana Rxy. Vamos usar a primeira forma fundamental e o teorema de mudança de variáveis.

Passo 2

Para um domínio planar tomamos a parametrização
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,0r)
Suas derivadas parciais são
ru = (xu,,yu,,0), rv = (xv,,yv,,0)

Passo 3

Os coeficientes da primeira forma fundamental ficam
E = rucdot ru = xu^2 + yu^2, F = rucdot rv = xu xv + yu yv, G = rvcdot rv = xv^2 + yv^2
Logo
EG - F^2 = (xu^2+yu^2)(xv^2+yv^2) - (xu xv + yu yv)^2 = (xu yv - xv yu)^2

Passo 4

Portanto
raizEG - F^2 = l|xu yv - xv yur| = l|partial(x,y)partial(u,v)r|
Substituindo em S vem
S = integral duplaRuvl|partial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv

Passo 5

Pelo teorema de mudança de variáveis em integrais duplas
integral duplaRuvl|partial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv = integral duplaRxydx,dy
Isso mostra a redução desejada.

Resposta

S=integral duplaRuvl|partial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv =integral duplaRxydx,dy

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