quando a superfície é um domínio planar z=0 e (u,v) são coordenadas curvilíneas na área plana Rxy. Vamos usar a primeira forma fundamental e o teorema de mudança de variáveis.
Passo 2
Para um domínio planar tomamos a parametrização
r(u,v) = l(x(u,v),,y(u,v),,0r)
Suas derivadas parciais são
ru = (xu,,yu,,0), rv = (xv,,yv,,0)
Passo 3
Os coeficientes da primeira forma fundamental ficam
E = rucdot ru = xu^2 + yu^2, F = rucdot rv = xu xv + yu yv, G = rvcdot rv = xv^2 + yv^2
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EG - F^2 = (xu^2+yu^2)(xv^2+yv^2) - (xu xv + yu yv)^2 = (xu yv - xv yu)^2