Achar a área da superficie de uma esfera usando:
(b) as equações paramétricas
(b) as equações paramétricas
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície de uma esfera de raio
usando a parametrização
que define uma função vetorial
com domínio
e
. Para achar a área, vamos usar a fórmula de integral de superfície
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
r .
Para a variação emphi :
Para a variação em
Para a variação em
theta :
Passo 3
Agora montamos o produto vetorial
e encontramos seu módulo. Se você fizer as contas, verá que todos os termos se organizam para dar
Esse fator
a^2senphi é justamente o “elemento de área” na parametrização esférica.
Passo 4
Substituindo na integral de superfície:
Podemos separar:
Resposta
A área da superfície da esfera de raio
a é