Achar a área da superficie de uma esfera usando:
(b) as equações paramétricas
x=a sen phi cos theta, y=a sen phi sen theta, z=a cos phi

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de uma esfera de raio a usando a parametrização
x=asenphicostheta, y=asenphisentheta, z=acosphi,
que define uma função vetorial
r(phi,theta)=l(asenphicostheta,;asenphisentheta,;acosphir)
com domínio phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. Para achar a área, vamos usar a fórmula de integral de superfície
S=integral duplaDl|partial rpartialphitimespartial rpartialthetar|,dphi,dtheta

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de r.
Para a variação em phi:
partial rpartialphi =l(acosphicostheta,;acosphisentheta,;-asenphir)
Para a variação em theta:
partial rpartialtheta =l(-asenphisentheta,;asenphicostheta,;0r)

Passo 3

Agora montamos o produto vetorial
partial rpartialphitimespartial rpartialtheta
e encontramos seu módulo. Se você fizer as contas, verá que todos os termos se organizam para dar
l|partial rpartialphitimespartial rpartialthetar| = a^2senphi
Esse fator a^2senphi é justamente o “elemento de área” na parametrização esférica.

Passo 4

Substituindo na integral de superfície:
S=integraltheta=0^2piintegralphi=0^pia^2senphi;dphi,dtheta
Podemos separar:
S = a^2gl(integral0^2pidthetagr)gl(integral0^pisenphi,dphigr) = a^2,(2pi), l[-cosphir]0^pi =2pi a^2,(2) =4pi a^2

Resposta

A área da superfície da esfera de raio a é
4pi a^2

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