Provar que, se uma superficie z=f(x, y) é dada sob forma implicita: F(x, y, z)=0, então a área de superficie (4-70) se expressa como
integral duplaRx y raizFx^2+Fy^2+Fx^2|Fz| d x d y

*4-10. CÁlCULO NUMÉRICO DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS. Para

calcular numericamente uma integral dupla
integral duplaRx y f(x, y) d x d y
dispomos dos métodos seguintes:
(a) Redução a uma integral iterada:
integrala^b integraly1(x)^y2(x) f(x, y) d y d x
A integral interna deve ser calculada para cada x entre a e b, por qualquer método escolhido. Em particular, podemos empregar um método numérico como, por exemplo, a regra de Simpson. Isso nos dá a integral interna como uma função F(x) sob forma de tabela para valores de x entre a e b. Feito isso, podemos usar um método semelhante para achar
integrala^b F(x), d x
(b) Uso da soma na qual se baseia a integral dupla:
sumi=1^n f(xi^*, yi^*) De<ai A
Nesse processo, dividimos a região Rx y em retângulos, como indica a Fig. 4-8. Os pontos ( xi^*, yi^* ) podem ser escolhidos, por exemplo, nos vértices dos retângulos. Podemos também subdividir Rx y por curvas r= const. e theta= const. de um sistema de coordenadas polares. Os elementos de área De<ai A são, então, retãngulos curvilineos cuja área pode ser calculada com precisão pela geometria. Em princípio, podemos usar qualquer tipo de elemento cuja área possa ser calculada; para n suficientemente grande e o maior diâmetro dos elementos suficientemente pequeno, a soma será tão próxima da integral procurada quanto se queira.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se a superfície estiver dada implicitamente por
F(x,y,z)=0
podendo resolver para z=f(x,y), então a área
A=integral duplaRxyraiz1+fx^2+fy^2,dx,dy
pode ser reescrita em termos de Fx,Fy,Fz. Para isso vamos usar diferenciação implícita (regra da cadeia) e a fórmula conhecida da área de gráfico de z=f(x,y).

Passo 2

Como z=f(x,y) satisfaz F(x,y,z(x,y))=0, aplicamos a regra da cadeia em relação a x e a y:
partialpartial xFl(x,y,z(x,y)r) =Fx+Fz,zx=0 Longrightarrow zx=-FxFz,
partialpartial yFl(x,y,z(x,y)r) =Fy+Fz,zy=0 Longrightarrow zy=-FyFz

Passo 3

Agora substituímos zx e zy na expressão do integrando da área:
1+zx^2+zy^2 =1+Fx^2Fz^2+Fy^2Fz^2 =Fz^2+Fx^2+Fy^2Fz^2,
logo
raiz1+zx^2+zy^2 =raizFx^2+Fy^2+Fz^2lvert Fzrvert
Portanto
A =integral duplaRxyraiz1+zx^2+zy^2,dx,dy =integral duplaRxyraizFx^2+Fy^2+Fz^2lvert Fzrvert,dx,dy

Resposta

boxed A =integral duplaRxyraizFx^2+Fy^2+Fz^2lvert Fzrvert,dx,dy

Exercícios de Livros Relacionados