Provar que, se uma superficie
é dada sob forma implicita:
, então a área de superficie (4-70) se expressa como
*4-10. CÁlCULO NUMÉRICO DE INTEGRAIS MÚLTIPLAS. Para
calcular numericamente uma integral dupla
dispomos dos métodos seguintes:
(a) Redução a uma integral iterada:
A integral interna deve ser calculada para cada
entre
e
, por qualquer método escolhido. Em particular, podemos empregar um método numérico como, por exemplo, a regra de Simpson. Isso nos dá a integral interna como uma função
sob forma de tabela para valores de
entre
e
. Feito isso, podemos usar um método semelhante para achar
(b) Uso da soma na qual se baseia a integral dupla:
Nesse processo, dividimos a região
em retângulos, como indica a Fig. 4-8. Os pontos (
) podem ser escolhidos, por exemplo, nos vértices dos retângulos. Podemos também subdividir
por curvas
const. e
const. de um sistema de coordenadas polares. Os elementos de área
são, então, retãngulos curvilineos cuja área pode ser calculada com precisão pela geometria. Em princípio, podemos usar qualquer tipo de elemento cuja área possa ser calculada; para
suficientemente grande e o maior diâmetro dos elementos suficientemente pequeno, a soma será tão próxima da integral procurada quanto se queira.
(a) Redução a uma integral iterada:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se a superfície estiver dada implicitamente por
podendo resolver para
, então a área
pode ser reescrita em termos de
. Para isso vamos usar diferenciação implícita (regra da cadeia) e a fórmula conhecida da área de gráfico de
.
Passo 2
Como
satisfaz
, aplicamos a regra da cadeia em relação a
e a
:
Passo 3
Agora substituímos
e
na expressão do integrando da área:
logo
Portanto