É dado no espaço um paralelogramo cujos lados representam os vetores a e b. Seja c um vetor unitário perpendicular a um plano C. (a) Mostrar que a times b cdot c é igual a mais ou menos a área da projeção do paralelogramo sobre C. (b) Mostrar que esse resultado pode ser expresso por S cos gamma, onde S é a área do paralelogramo e gamma é o ângulo entre a times b ec. (c) Mostrar que vale
S=raizSy z^2+Sz x^2+Sx y^2,
sendo Sy z, Sz x, Sx y as áreas das projeções do paralelogramo sobre o plano y z, o plano z x, e o plano x y, respectivamente.

Passo 1

O enunciado trata de um paralelogramo de lados dados pelos vetores ,a e ,b. Denotamos por ,S = lvert a times brvert a área desse paralelogramo. Seja ,c um vetor unitário perpendicular a um plano C.
Conteúdo: produto vetorial, produto escalar triplo e projeção de áreas. Vamos usar a definição geométrica de atimes b e a interpretação do produto escalar triplo para área projetada.

Passo 2

Lembramos que o vetor atimes b tem módulo
lvert atimes brvert = S
e direção normal ao plano de a e b. O produto escalar triplo
(atimes b)cdot c
é igual a lvert atimes brvert;lvert crvertcosgamma, onde gamma é o ângulo entre atimes b e c. Como lvert crvert=1, temos
(atimes b)cdot c = Scosgamma

Passo 3

Geometricamente, se projetamos o paralelogramo de área S sobre o plano C, a área Srm proj da projeção satisfaz
Srm proj = S,lvertcosgammarvert,
pois gamma é o ângulo entre as normais dos planos. O sinal de (atimes b)cdot c só indica orientação (“mais” ou “menos”), de modo que
(atimes b)cdot c = pm,Srm proj
Isto prova o item (a) e, coletando, temos no item (b)
(atimes b)cdot c = Scosgamma

Passo 4

Para o item (c), consideramos as projeções do paralelogramo sobre os planos coordenados yz, zx e xy. Por exemplo, a área projetada sobre o plano yz é
Syz = lvert(atimes b)cdot irvert = lvert (atimes b)xrvert,
onde i é o vetor unitário em x. De forma análoga,
Szx = lvert (atimes b)yrvert, Sxy = lvert (atimes b)zrvert
Mas
S^2 = lvert atimes brvert^2 = (atimes b)x^2 + (atimes b)y^2 + (atimes b)z^2
Portanto
S^2 = Syz^2 + Szx^2 + Sxy^2
e, extraindo a raiz, chegamos à fórmula pedida.

Resposta

(a) (atimes b)cdot c = pm área da projeção do paralelogramo sobre C.
(b) (atimes b)cdot c = Scosgamma.
(c) S = raizSyz^2 + Szx^2 + Sxy^2.

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