É dado no espaço um paralelogramo cujos lados representam os vetores
e b. Seja c um vetor unitário perpendicular a um plano
. (a) Mostrar que
é igual a mais ou menos a área da projeção do paralelogramo sobre
. (b) Mostrar que esse resultado pode ser expresso por
, onde
é a área do paralelogramo e
é o ângulo entre
ec. (c) Mostrar que vale
sendo
as áreas das projeções do paralelogramo sobre o plano
, o plano
, e o plano
, respectivamente.
Passo 1
O enunciado trata de um paralelogramo de lados dados pelos vetores
e
. Denotamos por
a área desse paralelogramo. Seja
um vetor unitário perpendicular a um plano
.
Conteúdo: produto vetorial, produto escalar triplo e projeção de áreas. Vamos usar a definição geométrica de e a interpretação do produto escalar triplo para área projetada.
Conteúdo: produto vetorial, produto escalar triplo e projeção de áreas. Vamos usar a definição geométrica de
Passo 2
Lembramos que o vetor
tem módulo
e direção normal ao plano de
e
. O produto escalar triplo
é igual a
, onde
é o ângulo entre
e
. Como
, temos
Passo 3
Geometricamente, se projetamos o paralelogramo de área
sobre o plano
, a área
da projeção satisfaz
pois
é o ângulo entre as normais dos planos. O sinal de
só indica orientação (“mais” ou “menos”), de modo que
Isto prova o item (a) e, coletando, temos no item (b)
Passo 4
Para o item (c), consideramos as projeções do paralelogramo sobre os planos coordenados
,
e
. Por exemplo, a área projetada sobre o plano
é
onde
é o vetor unitário em
. De forma análoga,
Mas
Portanto
e, extraindo a raiz, chegamos à fórmula pedida.
Resposta
(a)
área da projeção do paralelogramo sobre
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)