Achar a n^a derivada de
x^n+x^-n

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x) = x^n + x^-n
O conteúdo da matéria é a regra de potência estendida para derivadas de ordem superior.

Passo 2

Recordamos que a derivada de ordem k de x^m é dada por
d^kdx^k x^m = m,(m-1),(m-2)cdots(m-k+1);x^m-k,
válida para qualquer inteiro m e k>=0.

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao termo x^n com k=n, obtemos
d^ndx^nx^n = n,(n-1)cdots1 ;x^n-n = n!;x^0 = n!

Passo 4

Agora aplicamos ao termo x^-n com k=n. O coeficiente será
(-n)(-n-1)cdots(-n-(n-1)) = (-1)^n,(n)(n+1)cdots(2n-1) = (-1)^n,(2n-1)!(n-1)!,
e a potência resultante é x^-n-n=x^-2n. Logo,
d^ndx^nx^-n = (-1)^n,(2n-1)!(n-1)!;x^-2n

Passo 5

Somando as duas contribuições, a derivada de ordem n de f(x) é
d^ndx^nl(x^n+x^-nr) = n! ;+;(-1)^n,(2n-1)!(n-1)!;x^-2n

Resposta

d^ndx^nl(x^n+x^-nr) = n! + (-1)^n,(2n-1)!(n-1)!;x^-2n

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