Achar os extremos das funções:
y=cos x+sen x(-pi2 <= x <= pi2). Resp. ymax =raiz2 para x=pi4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
y = cos x + sin x
no intervalo fechado [-tfracpi2,,tfracpi2]. Vamos usar derivadas para achar pontos críticos e depois examinar as extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
dydx = -sin x + cos x
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
-sin x + cos x = 0
que equivale a
tan x = 1
No intervalo dado, a única solução é
x = pi4

Passo 3

Para classificar esse ponto, usamos a segunda derivada:
d^2ydx^2 = -cos x - sin x
Em x = pi4 temos
d^2ydx^2l|x=pi4 = -raiz22 - raiz22 = -raiz2 < 0,
logo x=pi4 é ponto de máximo local.

Passo 4

Agora avaliamos y nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
yl(-tfracpi2r) = cosl(-tfracpi2r) + sinl(-tfracpi2r) = 0 - 1 = -1
yl(tfracpi2r) = cosl(tfracpi2r) + sinl(tfracpi2r) = 0 + 1 = 1
yl(tfracpi4r) = cosl(tfracpi4r) + sinl(tfracpi4r) = raiz22 + raiz22 = raiz2

Passo 5

Comparando os valores:
  • O maior valor é raiz2 em x=pi4.
  • O menor valor é -1 em x=-pi2.

Resposta

ymax = raiz2 em x = tfracpi4.
ymin = -1 em x = -tfracpi2.

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