Achar os extremos das funções:
y=e^x sen x. Resp. mín. para x=2 k pi-pi4, máx. para x=2 k pi+34 pi.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
y = e^xsin x
Este é um problema de cálculo de extremos de funções reais: vamos precisar calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos e depois usar a derivada segunda para classificá-los como máximos ou mínimos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra do produto e a derivada de e^x e de sin x:
y' = ddxl(e^xr),sin x ;+; e^x,ddx(sin x) = e^xsin x + e^xcos x = e^xl(sin x + cos xr)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem y'=0. Como e^x>0 para todo x, basta resolver
sin x + cos x = 0 Long<=ftrightarrow tan x = -1
Isso ocorre quando
x = -pi4 + kpi, kinZ
Escrevendo para k=2m e k=2m+1 obtemos
x = 2mpi - pi4 e x = 2mpi + 3pi4, minZ

Passo 4

Para classificar, calculamos a derivada segunda:
y'' = ddxl[e^x(sin x + cos x)r] = e^x(sin x + cos x) + e^x(cos x - sin x) = e^x,2cos x
Em x = 2mpi - tfracpi4 temos cos x = cos(-tfracpi4) = +tfracraiz22, logo y''>0 e são mínimos.
Em x = 2mpi + tfrac3pi4 temos cos x = cos(tfrac3pi4) = -tfracraiz22, logo y''<0 e são máximos.

Resposta

Mínimos em
x = 2kpi - pi4,
Máximos em
x = 2kpi + 3pi4,
para todo kinZ.

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