Achar os extremos das funções:
y=(x-2)(3-x)x^2. Resp. máx. para x=125.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
y = (x-2)(3-x)x^2
O conteúdo é cálculo de extremos de função de variável real: vamos determinar o domínio, calcular a derivada, achar os pontos críticos e, por fim, classificar cada ponto pelo sinal de y'.

Passo 2

O domínio é xneq0. Para facilitar a derivação, expandimos o numerador e escrevemos
y = -x^2+5x-6x^2 = -1 + 5x - 6x^2

Passo 3

Derivando termo a termo,
y' = 0 - 5x^2 + 12x^3 = -5x + 12x^3

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem quando y'=0 (e onde a derivada é indefinida, mas x=0 sai do domínio). Assim,
-5x + 12 = 0 Longrightarrow x = 125

Passo 5

Para classificar, observamos o sinal de y' em cada intervalo de xneq0:
  • Se 0 < x < tfrac125, então -5x+12>0 e x^3>0, logo y'>0.
  • Se x > tfrac125, então -5x+12<0 e x^3>0, logo y'<0.
Portanto em x=tfrac125 a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.

Passo 6

Calculamos o valor de y em x=tfrac125:
yl(tfrac125r) = -1 + 512/5 - 6(12/5)^2 = -1 + 2512 - 6cdot25144 = -1 + 2512 - 150144 = -1 + 2512 - 2524 = 124

Resposta

O único extremo é um máximo local em x=tfrac125 com valor y=tfrac124.

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