Achar os extremos das funções:
y=xlog x. Resp. ymin =e para x=e.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = xlog x
ou seja, identificar pontos críticos onde y'!=!0 ou não existe e determinar se são máximos ou mínimos.

Passo 2

Antes de derivar, observamos o domínio: log x exige x>0 e o denominador não pode ser zero, logo
x>0,;xneq1
Em particular temos dois ramos: 0<x<1 e x>1.

Passo 3

Usamos a regra do quociente para calcular
y' = (log x)cdot 1 - xcdot1x(log x)^2 = log x - 1(log x)^2

Passo 4

Para achar pontos críticos, impomos y'=0. Como o denominador (log x)^2 nunca zera (exceto em x=1, ponto fora do domínio), basta
log x - 1 = 0 Longrightarrow log x = 1 Longrightarrow x = e

Passo 5

Analisamos o sinal de y' em x>1:
  • Para 1<x<e, log x<1 implica log x-1<0, logo y'<0 (função decrescente).
  • Para x>e, log x>1 implica log x-1>0, logo y'>0 (função crescente).
    Isso mostra que em x=e a função muda de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo.

Passo 6

O valor mínimo é
y(e) = elog e = e1 = e

Resposta

A função tem um único extremo, um mínimo em x=e com
ymin = e

Exercícios de Livros Relacionados