Achar \frac{d^{2} y}{d x^{2}} das seguintes funções:
\left\{ \begin{array}{l} x=\ln t, \\\ y=t^{3} ;\end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá as funções paramétricas
x = \ln t, \qquad y = t^{3},
e pede a segunda derivada \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Conteúdo: derivadas de funções paramétricas.
Para resolver vamos:
– calcular \frac{dy}{dt} e \frac{dx}{dt};
– obter \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt};
– usar
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)}{dx/dt}.

Passo 2

Calcular \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt}.
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\ln t) = \frac{1}{t}, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{3}) = 3t^{2}.

Passo 3

Determinar \frac{dy}{dx} pela razão das derivadas em t:
\frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle \frac{dy}{dt}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}} = \frac{3t^{2}}{1/t} = 3t^{3}.

Passo 4

Calcular a derivada de \frac{dy}{dx} em relação a t:
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr) = \frac{d}{dt}(3t^{3}) = 9t^{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da segunda derivada em paramétricas:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\displaystyle \frac{d}{dt}\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)}{\displaystyle dx/dt} = \frac{9t^{2}}{1/t} = 9t^{3}.

Passo 6

Opcionalmente, expressar em função de x. Como t = e^{x}, temos
t^{3} = e^{3x},
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\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9e^{3x}.

Resposta

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9t^{3} \quad\text{ou, em termos de \(x\),}\quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 9e^{3x}.

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