Achar f^{(n)}(0), se f(x)=\ln \frac{1}{1-x}.

Passo 1

O enunciado pede f^{(n)}(0) para a função
f(x)=\ln\frac{1}{1-x}.
O conteúdo aqui é encontrar a expansão em série de Taylor de f em torno de 0 e usar a relação entre os coeficientes dessa série e as derivadas em zero.

Passo 2

Primeiro escrevemos
f(x)=\ln\frac{1}{1-x}=-\ln(1-x).
Sabemos a expansão em série de -\ln(1-x) para |x|<1:
-\ln(1-x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}.

Passo 3

Em geral, se
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k},
então
a_{k}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}.
Aqui, para k\ge1, o coeficiente de x^{k} é a_{k}=1/k. Logo
\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{1}{n} \qquad\Longrightarrow\qquad f^{(n)}(0)=n!\,\frac{1}{n}=(n-1)!.

Resposta

f^{(n)}(0)=(n-1)!\quad\text{para todo }n\ge1.

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