Utilizando a fórmula de Leibniz, achar y^{(n)}, se:
y=\frac{1+x}{V \bar{x}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n de
y = \frac{1+x}{V\bar{x}},
utilizando a fórmula de Leibniz para derivada de produto. Aqui V\bar{x} é uma constante em relação a x.

Passo 2

Reescrevemos y como produto de duas funções:
y = f(x)\,g(x),
onde
f(x) = 1 + x, \qquad g(x) = \frac{1}{V\bar{x}}.
Note que g(x) é constante, digamos C^{-1} com C = V\bar{x}.

Passo 3

A fórmula de Leibniz diz que
\bigl(fg\bigr)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,f^{(k)}(x)\,g^{(n-k)}(x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de f e g:
f(x)=1+x \;\Longrightarrow\; f'(x)=1,\; f''(x)=0,\;\dots,\;f^{(k)}(x)=0\;\text{para }k\ge2.
g(x)=C^{-1} \;\Longrightarrow\; g^{(m)}(x)=0 \;\text{para }m\ge1, \quad g(x)=g^{(0)}(x)=C^{-1}.

Passo 5

Na soma de Leibniz, os únicos termos não nulos ocorrem quando
  • k=0 e n-k=0 (isto é, n=0),
  • k=1 e n-k=0 (isto é, n=1).
Para n=0:
y^{(0)}(x) = y(x) = \frac{1+x}{V\bar{x}}.
Para n=1:
y'(x) = \binom{1}{1} f'(x)\,g^{(0)}(x) = 1\cdot 1\cdot \frac{1}{V\bar{x}} = \frac{1}{V\bar{x}}.
Para n\ge2:
tanto os termos com f^{(k)} quanto os com g^{(n-k)} serão zero, logo
y^{(n)}(x)=0.

Resposta

y^{(n)}(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1+x}{V\bar{x}}, & n=0,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{V\bar{x}}, & n=1,\\[6pt] 0, & n\ge2. \end{cases}]

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