Achar o menor inteiro cujo produto por 21 é um inteiro formado apenas com algarismos 4.

Passo 1

Resumindo: queremos encontrar o menor inteiro k tal que o produto
21 times k
seja um número formado apenas pelo dígito 4 (isto é, “ 444ldots4” para alguma quantidade de dígitos). Vamos usar conceitos de números repunit (números formados só por dígitos 1) e critérios de divisibilidade.

Passo 2

Seja m o número de dígitos 4. Então esse número pode ser escrito como
Am = underbrace44ldots4m dígitos = 4 times underbrace11ldots1m dígitos = 4 times Rm, íí
onde
Rm = underbrace11ldots1m dígitos = 10^m - 19 í
é o m-ésimo repunit.

Passo 3

Queremos 21,k = Am = 4,Rm. Como gcd(4,21)=1, isso equivale a exigir
21 mid Rm
Ou seja, Rm deve ser divisível por 21.

Passo 4

Como 21 = 3 times 7, vamos estudar as divisibilidades de Rm:
1. Divisibilidade por 3: um repunit Rm tem soma dos dígitos igual a m, logo
3 mid Rm Long<=ftrightarrow 3 mid m
2. Divisibilidade por 7: sabe-se que o período de Rm módulo 7 é 6, isto é,
7 mid Rm Long<=ftrightarrow 6 mid m
Para que Rm seja divisível por 3 e por 7 simultaneamente, m deve ser múltiplo de lcm(3,6)=6. O menor m>0 que satisfaz isso é m=6.

Passo 5

Com m=6 obtemos
A6 = 444444
e então
k = A621 = 44444421
Basta fazer a divisão:
444444 div 21 = 21164

Passo 6

Verificamos que não há m<6 que funcione (já que para m<6, ou 3nmid m ou 6nmid m). Portanto não existe k menor que 21164 que atenda ao enunciado.

Resposta

21164

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