Achar o menor inteiro cujo produto por 21 é um inteiro formado apenas com algarismos 4.
Passo 1
Resumindo: queremos encontrar o menor inteiro tal que o produto
seja um número formado apenas pelo dígito (isto é, “” para alguma quantidade de dígitos). Vamos usar conceitos de números repunit (números formados só por dígitos ) e critérios de divisibilidade.
Passo 2
Seja o número de dígitos . Então esse número pode ser escrito como
onde
Rm = underbrace11ldots1m dígitos = 10^m - 19 í
é o m-ésimo repunit.
Passo 3
Queremos 21,k = Am = 4,Rm. Como gcd(4,21)=1, isso equivale a exigir
21 mid Rm
Ou seja, Rm deve ser divisível por 21.
Passo 4
Como 21 = 3 times 7, vamos estudar as divisibilidades de Rm: 1. Divisibilidade por 3: um repunit Rm tem soma dos dígitos igual a m, logo
3 mid Rm Long<=ftrightarrow 3 mid m
2. Divisibilidade por 7: sabe-se que o período de Rm módulo 7 é 6, isto é,
7 mid Rm Long<=ftrightarrow 6 mid m
Para que Rm seja divisível por 3 e por 7 simultaneamente, m deve ser múltiplo de lcm(3,6)=6. O menor m>0 que satisfaz isso é m=6.
Passo 5
Com m=6 obtemos
A6 = 444444
e então
k = A621 = 44444421
Basta fazer a divisão:
444444 div 21 = 21164
Passo 6
Verificamos que não há m<6 que funcione (já que para m<6, ou 3nmid m ou 6nmid m). Portanto não existe k menor que 21164 que atenda ao enunciado.
Resposta
21164
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 14