Achar a ordem infinitesimal das funções:
arctg x-sen x

Passo 1

O enunciado pede a ordem infinitesimal, quando xto0, da função
f(x)=arctan x - sin x
Para isso vamos usar expansões de Taylor (Maclaurin) das duas funções até a ordem que permita identificar o primeiro termo não nulo de f(x).

Passo 2

Expandimos arctan x em série de Maclaurin até a potência x^3:
arctan x = x - x^33 + O(x^5)

Passo 3

Expandimos sin x em série de Maclaurin até a potência x^3:
sin x = x - x^36 + O(x^5)

Passo 4

Subtraindo as duas expansões:
f(x)=l(x - tfracx^33 + O(x^5)r)-l(x - tfracx^36 + O(x^5)r) =-x^33 + x^36 + O(x^5) =-x^36 + O(x^5)
Logo, o primeiro termo não nulo de f(x) é proporcional a x^3.

Resposta

A função arctan x - sin x é infinitesimal de ordem 3 em x=0, com equivalente
arctan x - sin x sim -x^36

Exercícios de Livros Relacionados