Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
lim x 0[1x(1+x)-log (1+x)x^2]

Passo 1

O enunciado pede
limxto0l[1x(1+x)-ln(1+x)x^2r]
O conteúdo é aplicação da regra de L’Hospital em formas do tipo 0/0. Para usar L’Hospital, primeiro vamos reescrever essa diferença como uma única fração cujo numerador e denominar entram em indeterminação 0/0.

Passo 2

Colocando as parcelas sobre o mesmo denominador x^3(1+x):
1x(1+x) = x^2x^3(1+x), ln(1+x)x^2 = x(1+x),ln(1+x)x^3(1+x)
Logo a diferença vira
x^2 - x(1+x),ln(1+x)x^3(1+x)
Defina
f(x) = x^2 - x(1+x)ln(1+x), g(x) = x^3(1+x),
então nosso limite é limxto0 tfracf(x)g(x), com f(0)=0 e g(0)=0.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, computamos
f'(x) = 2x - l[(1+2x)ln(1+x) + xr], g'(x) = 3x^2(1+x) + x^3 = 3x^2 + 4x^3
Então
limxto0f(x)g(x) = limxto0f'(x)g'(x) = limxto0x - (1+2x)ln(1+x)3x^2 + 4x^3,
ainda forma 0/0, pois o numerador e o denominador vão a zero.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez. Derivadas de ordem 2:
f''(x) = 1 - l[2ln(1+x) + 1+2x1+xr], g''(x) = 6x + 12x^2
Assim
limxto0f'(x)g'(x) = limxto0f''(x)g''(x) = limxto01 - l[2ln(1+x) + tfrac1+2x1+xr]6x + 12x^2,
continua 0/0.

Passo 5

Terceira aplicação de L’Hospital: derivadas de ordem 3:
f'''(x) = -l[21+x + 1(1+x)^2r], g'''(x) = 6 + 24x
Agora avaliando em x=0:
f'''(0) = -l[2 + 1r] = -3, g'''(0) = 6
Então
limxto0f(x)g(x) = limxto0f'''(x)g'''(x) = -36 = -tfrac12

Resposta

-tfrac12

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