Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede
O conteúdo é aplicação da regra de L’Hospital em formas do tipo
. Para usar L’Hospital, primeiro vamos reescrever essa diferença como uma única fração cujo numerador e denominar entram em indeterminação
.
Passo 2
Colocando as parcelas sobre o mesmo denominador
:
Logo a diferença vira
Defina
então nosso limite é
, com
e
.
Passo 3
Aplicando L’Hospital pela primeira vez, computamos
Então
ainda forma
, pois o numerador e o denominador vão a zero.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital pela segunda vez. Derivadas de ordem
:
Assim
continua
.
Passo 5
Terceira aplicação de L’Hospital: derivadas de ordem
:
Agora avaliando em
:
Então