Achar o polinômio
Pn=(2 n)!2^n(n!)^2 x^n+a1 x^n-1+ldots+an
solução da equação diferencial
dd x[(x^2-1) Pn^prime]-n(n+1) Pn=0

Passo 1

O enunciado pede um polinômio Pn(x)=(2n)!2^n(n!)^2x^n+a1x^n-1+cdots+an que satisfaça a equação diferencial
ddxl[(x^2-1)Pn'(x)r]-n(n+1)Pn(x)=0
Este é o problema clássico dos polinômios de Legendre de grau n.

Passo 2

Reconhecemos que a equação
ddxl[(1-x^2)y'r]+n(n+1)y=0
é a forma usual da equação de Legendre. Basta notar que, trocando xmapsto x e multiplicando por -1, obtemos exatamente a equação dada. Logo procuramos a solução polinomial de grau n, chamada de polinômio de Legendre Pn(x).

Passo 3

Uma forma direta de escrever Pn(x) é via a fórmula de Rodrigues:
Pn(x)=12^nn!,d^ndx^nl[(x^2-1)^nr]
Esse procedimento gera um polinômio de grau n que satisfaz a equação diferencial de Legendre.

Passo 4

Para conferir que o termo principal sai com coeficiente (2n)!2^n(n!)^2, observe que em (x^2-1)^n o termo de maior grau é x^2n. Ao derivar n vezes, ele vira
d^ndx^n(x^2n)=(2n)!(2n-n)!,x^2n-n=(2n)!n!,x^n,
e levando em conta o fator 12^nn! da fórmula de Rodrigues, o coeficiente fica
12^nn!cdot(2n)!n!=(2n)!2^n(n!)^2,
exatamente como desejado.

Passo 5

Podemos também escrever de forma explícita os coeficientes intermediários por
Pn(x) =sumk=0^lfloor n/2rfloor (-1)^k,(2n-2k)!2^n,k!,(n-k)!,(n-2k)!;x^,n-2k
Esse somatório fornece todos os a1,dots,an.

Resposta

Pn(x)=12^nn!,d^ndx^nl[(x^2-1)^nr] ou Pn(x) =sumk=0^lfloor n/2rfloor (-1)^k,(2n-2k)!2^n,k!,(n-k)!,(n-2k)!;x^,n-2k

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