Achar o polinômio
solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede um polinômio
que satisfaça a equação diferencial
Este é o problema clássico dos polinômios de Legendre de grau
.
Passo 2
Reconhecemos que a equação
é a forma usual da equação de Legendre. Basta notar que, trocando
e multiplicando por
, obtemos exatamente a equação dada. Logo procuramos a solução polinomial de grau
, chamada de polinômio de Legendre
.
Passo 3
Uma forma direta de escrever
é via a fórmula de Rodrigues:
Esse procedimento gera um polinômio de grau
que satisfaz a equação diferencial de Legendre.
Passo 4
Para conferir que o termo principal sai com coeficiente
, observe que em
o termo de maior grau é
. Ao derivar
vezes, ele vira
e levando em conta o fator
da fórmula de Rodrigues, o coeficiente fica
exatamente como desejado.
Passo 5
Podemos também escrever de forma explícita os coeficientes intermediários por
Esse somatório fornece todos os
.