Os números x1, x2, x3 e a ik (i, k=1,2,3) são todos positivos. Além disso, aik <=q M e x1 ^2+x2 ^2+x3 ^2 <=q 1. Provar que
a11 x1 ^2+2 a12 x1 x2+ldots+a33 x3 ^2 <=q 3 M.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos quatro números positivos x1,x2,x3 e aik para i,k=1,2,3, com
aik<= M,
e
x1^2+x2^2+x3^2<=1
Queremos mostrar que o valor da forma quadrática
a11x1^2+2a12x1x2+2a13x1x3+a22x2^2+2a23x2x3+a33x3^2
é no máximo 3M. Vamos usar para isso a desigualdade de AM–GM na forma
2xixj<= xi^2+xj^2
e a cota aik<= M.

Passo 2

Cota para os termos diagonais: para cada iin1,2,3,
aiixi^2<= M,xi^2
Cota para cada termo cruzado i<j:
2aijxixj<= aij,(xi^2+xj^2)<= M,(xi^2+xj^2)

Passo 3

Somando todas as cotas, obtemos
&l(a11x1^2+a22x2^2+a33x3^2r) +l(2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3r) <=;&M,(x1^2+x2^2+x3^2) +Ml((x1^2+x2^2)+(x1^2+x3^2)+(x2^2+x3^2)r)

Passo 4

Agrupando coeficientes de cada xi^2, vemos que em cada xi^2 aparece um M da parte diagonal e mais dois M dos pares, totalizando 3M. Logo
soma total;<=;3M,(x1^2+x2^2+x3^2)

Passo 5

Como x1^2+x2^2+x3^2<=1, concluímos
3M,(x1^2+x2^2+x3^2)<=3Mcdot1=3M

Resposta

a11x1^2+2a12x1x2+dots+a33x3^2<=3M

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