Achar o raio de curvatura
da nlipse x=a cos varphi, y=b sen varphi, como função de x e de varphi, respectivamente. Calcular us raios de curvatura máximo e mínimo, determinando os pontos em que êles ocorrem.

Passo 1

O enunciado pede o raio de curvatura de
x=acosvarphi, y=bsinvarphi
como função de varphi e de x, e depois os valores máximo e mínimo de rho com os pontos onde ocorrem. Vamos usar a fórmula de curvatura para curva paramétrica e depois converter para x.

Passo 2

Recordando que, para uma curva paramétrica
gamma(t)=(x(t),y(t)), a curvatura é
kappa(t)=l|x'(t),y''(t)-y'(t),x''(t)r|l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2
e o raio de curvatura é rho(t)=1/kappa(t).

Passo 3

No nosso caso t=varphi,
x'=-asinvarphi, x''=-acosvarphi, y'=bcosvarphi, y''=-bsinvarphi
Então o numerador fica
l|x'y''-y'x''r| =l|(-asinvarphi)(-bsinvarphi)-(bcosvarphi)(-acosvarphi)r| =ab(sin^2varphi+cos^2varphi)=ab
E o denominador
l(x'^2+y'^2r)^3/2 =l(a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphir)^3/2

Passo 4

Logo
kappa(varphi) =abl(a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphir)^3/2 Longrightarrow rho(varphi) =l(a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphir)^3/2ab

Passo 5

Para escrever rho em função de x, note que x=acosvarphi, ou seja cosvarphi=x/a e sin^2varphi=1-x^2/a^2. Então
a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphi =a^2l(1-x^2a^2r)+b^2x^2a^2 =a^4 + x^2,(b^2 - a^2)a^2
Eleva-se ao 3/2 e divide-se por ab, obtendo
rho(x) =l(a^4 + x^2(b^2 - a^2)r)^3/2a^4,b

Passo 6

Para achar extremos de rho(varphi) basta olhar D(varphi)=a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphi, pois rho cresce com D^3/2.
  • O máximo de D é max(a^2,b^2)=a^2 (supondo a>b), ocorre em sin^2varphi=1, i.e.\ varphi=pi/2,3pi/2, pontos (0,pm b).
  • O mínimo de D é b^2, ocorre em varphi=0,pi, pontos (pm a,0).
Então
rhomax =(a^2)^3/2ab =a^3ab =a^2b, rhomin =(b^2)^3/2ab =b^3ab =b^2a

Resposta

rho(varphi)=l(a^2sin^2varphi+b^2cos^2varphir)^3/2ab rho(x)=l(a^4+x^2(b^2-a^2)r)^3/2a^4b rhomax=a^2/b em varphi=pi/2,3pi/2 (pontos (0,pm b));
rhomin=b^2/a em varphi=0,pi (pontos (pm a,0)).

Exercícios de Livros Relacionados