Determinar o momento de inércia de um arco da catenária y=Ch x
em tôrno do eixo dos x.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um fio uniformemente “massivo” colocado ao longo do arco da catenária
y=cosh x
em torno do eixo x.
Conteúdo: momento de inércia de um corpo unidimensional (fio) em torno de um eixo.
Vamos usar
  1. definição Ix=integral y^2,dm,
  2. para um fio de densidade linear rho, dm=rho,ds,
  3. e o elemento de arco ds=raiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Calculamos y' e o elemento de comprimento liso:
y=cosh xLongrightarrow y'=sinh x,
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ds=raiz1+sinh^2 x,dx=cosh x,dx

Passo 3

O momento de inércia em torno do eixo x é
Ix=integral y^2,dm =integral (cosh x)^2;l(rho,dsr) =rhointegral cosh^2 x;l(cosh x,dxr) =rhointegral cosh^3 x,dx

Passo 4

Integramos cosh^3 x usando a substituição u=sinh x, du=cosh x,dx:
cosh^3 x=cosh x,(1+sinh^2 x) Longrightarrow integral cosh^3 x,dx =integral (1+u^2),du =u+u^33+C =sinh x+sinh^3 x3+C

Passo 5

Se o arco vai de x=x1 até x=x2, substituímos os limites:
Ix =rhogl[sinh x+sinh^3 x3gr]x1^x2 =rhol(sinh x2+tfracsinh^3 x23-sinh x1-tfracsinh^3 x13r)

Resposta

Ix =rhol[sinh x+tfracsinh^3 x3r]x1^x2
Em particular, para o arco simétrico de -a a a:
Ix =2rho,sinh a3l(cosh^2 a+2r)

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