Determinar o comprimento do arco:
da espiral de Arquimedes
.
da espiral de Arquimedes
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco, de
até um valor genérico
, da espiral de Arquimedes definida em coordenadas polares por
com
. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares:
Passo 2
Aqui temos
Substituindo na fórmula do arco, o integrando vira
Passo 3
O comprimento do arco de
até
é
onde no segundo passo trocamos o nome de variável para
, só para não confundir limites com o integrando.
Passo 4
Precisamos calcular a integral
Usando a primitiva conhecida, temos
Passo 5
Agora avaliamos de
a
:
No limite inferior
a expressão vale
. Logo
Passo 6
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral, obtemos o comprimento final: