Determinar o comprimento do arco:
da espiral de Arquimedes r=a theta,(a>theta).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco, de theta=0 até um valor genérico theta, da espiral de Arquimedes definida em coordenadas polares por
r = a,theta,
com a>theta. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de curva em coordenadas polares:
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 2

Aqui temos
r(theta) = a,theta e r'(theta) = ddtheta(a,theta) = a
Substituindo na fórmula do arco, o integrando vira
raizr^2 + (r')^2 = raiz(a,theta)^2 + a^2 = a,raiztheta^2 + 1

Passo 3

O comprimento do arco de 0 até theta é
L = integral0^theta a,raiztheta^2 + 1;dtheta = a integral0^theta raiz1 + t^2;dt,
onde no segundo passo trocamos o nome de variável para t, só para não confundir limites com o integrando.

Passo 4

Precisamos calcular a integral
integral raiz1 + t^2;dt
Usando a primitiva conhecida, temos
integral raiz1 + t^2;dt = t,raiz1+t^22 + 12,lnl(t + raiz1+t^2r) + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a theta:
integral0^theta raiz1 + t^2;dt = [traiz1+t^22 + 12lnl(t + raiz1+t^2r)]0^theta
No limite inferior t=0 a expressão vale tfrac02+tfrac12ln(0+1)=0. Logo
integral0^theta raiz1 + t^2;dt = thetaraiz1+theta^22 + 12lnl(theta + raiz1+theta^2r)

Passo 6

Multiplicando pelo fator a que estava fora da integral, obtemos o comprimento final:
L = a[ thetaraiz1+theta^22 + 12lnl(theta + raiz1+theta^2r) ] = a2l(thetaraiz1+theta^2 + lnl(theta + raiz1+theta^2r)r)

Resposta

L = a2l(thetaraiz1+theta^2 + lnl(theta + raiz1+theta^2r)r)

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