Achar o trabalho para tirar a água de um reservatório semi-elíptico ( W=62 ). O bordo é um círculo de diâmetro 6 pés e a profundidade é de 5 pés. O reservatório está cheio.
Resp. \quad 3487 \frac{1}{2} \pi libras por pé.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho para bombear toda a água de um reservatório em forma de semi-elipsoide (meia elipse girada) de profundidade 5 ft e abertura circular de diâmetro 6 ft, com densidade de peso da água W=62 lb/f t^{3}. Vamos usar o método das fatias horizontais e integrar o trabalho de cada fatia.

Passo 2

Escolhemos um eixo y medindo a profundidade a partir do topo da água y=0 até o fundo y=5. A cada altitude y, a seção transversal é um círculo de raio r(y) dado pela equação da metade de uma elipse:
\frac{r(y)^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad r(y)=3\sqrt{1-\Bigl(\frac{y}{5}\Bigr)^{2}}.

Passo 3

Uma fatia de espessura \d y tem volume
\d V=\pi\,r(y)^{2}\,\d y
e peso
\d P=W\,\d V=62\,\pi\,\bigl(r(y)\bigr)^{2}\,\d y.
Para bombear essa fatia até o topo, ela deve subir a uma distância y. Logo o trabalho elementar é
\d W=\bigl(\d P\bigr)\times(\text{distância}) =62\,\pi\,r(y)^{2}\,y\,\d y.

Passo 4

Substituindo r(y)^{2}=9\bigl(1-(y/5)^{2}\bigr), o trabalho total é
W=\int_{y=0}^{5}62\,\pi\;\bigl[9\bigl(1-\frac{y^{2}}{25}\bigr)\bigr]\,y\,\d y =62\cdot9\,\pi\int_{0}^{5}\Bigl(y-\frac{y^{3}}{25}\Bigr)\d y.

Passo 5

Calculamos a integral:
\int_{0}^{5}\Bigl(y-\frac{y^{3}}{25}\Bigr)\d y =\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{4}}{100}\right]_{0}^{5} =\frac{25}{2}-\frac{625}{100} =12{,}5-6{,}25=6{,}25.
Portanto
W=62\cdot9\cdot6{,}25\,\pi =3487{,}5\,\pi \quad\text{(lbf\cdotft por pé de comprimento).}é

Resposta

3487\frac12\,\pi\quad\text{libras‐pés.}é

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