Achar o trabalho para tirar a água de um reservatório semi-elíptico (
). O bordo é um círculo de diâmetro 6 pés e a profundidade é de 5 pés. O reservatório está cheio.
Resp.
libras por pé.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho para bombear toda a água de um reservatório em forma de semi-elipsoide (meia elipse girada) de profundidade
ft e abertura circular de diâmetro
ft, com densidade de peso da água
lb/f
. Vamos usar o método das fatias horizontais e integrar o trabalho de cada fatia.
Passo 2
Escolhemos um eixo
medindo a profundidade a partir do topo da água
até o fundo
. A cada altitude
, a seção transversal é um círculo de raio
dado pela equação da metade de uma elipse:
Passo 3
Uma fatia de espessura
tem volume
e peso
Para bombear essa fatia até o topo, ela deve subir a uma distância
. Logo o trabalho elementar é
Passo 4
Substituindo
, o trabalho total é
Passo 5
Calculamos a integral:
Portanto