• Achar os três primeiros termos que não se anulam da série de Taylor para sen^2 x, na vizinhança de x=0, multiplicando o desenvolvimento ern série de Taylor de sen x por si mesmo. Justilicar o procedimento.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de sin^2x em torno de x=0, obtida multiplicando o desenvolvimento em série de Taylor de sin x por si mesmo. O conteúdo envolve séries de Taylor e operações com séries de potências.

Passo 2

Escrevemos o desenvolvimento de sin x até a ordem necessária
sin x = x - x^36 + x^5120 - x^75040 + O(x^9)
Como sin x é analítica em 0, sua série converge num raio positivo. O produto de duas séries convergentes também converge, e seus coeficientes são obtidos pela convolução dos coeficientes originais. Logo, podemos multiplicar a série de sin x por ela mesma para encontrar a de sin^2 x.

Passo 3

Multiplicando termo a termo e coletando até a ordem x^6, obtemos
sin^2 x = l(x - tfracx^36 + tfracx^5120 + cdotsr)^2 = x^2 - 26x^4 + l(2120 + 136r)x^6 + O(x^8) = x^2 - 13x^4 + 245x^6 + O(x^8)

Passo 4

Portanto, os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de sin^2 x são
x^2, -13x^4, 245x^6

Resposta

sin^2 x = x^2 - 13x^4 + 245x^6 + O(x^8)

Exercícios de Livros Relacionados