Verificar as séries seguintes, com relação à sua convergência ou divergência:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo
-ésimo termo é
onde o primeiro termo é
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries infinitas, em particular uso de assíntotas e comparação com p-séries.
Passo 2
Vamos reescrever
em função de funções Gama, o que facilita o estudo assintótico. Lembrando que
temos
Passo 3
Para determinar o comportamento de
quando
, aplicamos a fórmula de Stirling de forma simplificada, que dá
Logo, para
grande,
e daí
Ou seja,
se comporta como uma p-série de expoente
.
Passo 4
Comparando com a p-série
, sabemos que ela converge exatamente quando o expoente em
é menor que
, isto é,
Se
, então
e a série diverge (harmônica). Se
, diverge pois o termo não decai rápido o suficiente.
Resposta
A série converge se, e somente se,
e diverge em qualquer outro caso.