Verificar as séries seguintes, com relação à sua convergência ou divergência:
alphabeta+alpha(alpha+1)beta(beta+1)+alpha(alpha+1)(alpha+2)beta(beta+1)(beta+2)+ldots.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série cujo n-ésimo termo é
an=alpha(alpha+1)cdots(alpha+n)beta(beta+1)cdots(beta+n),
onde o primeiro termo é alphabeta. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries infinitas, em particular uso de assíntotas e comparação com p-séries.

Passo 2

Vamos reescrever an em função de funções Gama, o que facilita o estudo assintótico. Lembrando que
prodk=0^n(alpha+k)=Gamma(alpha+n+1)Gamma(alpha),
temos
an=Gamma(alpha+n+1)Gamma(alpha);Gamma(beta)Gamma(beta+n+1)

Passo 3

Para determinar o comportamento de an quando ntoinfty, aplicamos a fórmula de Stirling de forma simplificada, que dá
Gamma(z+c)sim Gamma(z),z^c(ztoinfty)
Logo, para n grande,
Gamma(alpha+n+1)sim Gamma(n+1),(n+1)^alpha, Gamma(beta+n+1)sim Gamma(n+1),(n+1)^beta,
e daí
ansimGamma(beta)Gamma(alpha),(n+1)^alpha-beta
Ou seja, an se comporta como uma p-série de expoente beta-alpha.

Passo 4

Comparando com a p-série sum (n+1)^alpha-beta, sabemos que ela converge exatamente quando o expoente em n é menor que -1, isto é,
alpha-beta< -1 Long<=ftrightarrow beta-alpha>1
Se beta-alpha=1, então ansim C/n e a série diverge (harmônica). Se beta-alpha<1, diverge pois o termo não decai rápido o suficiente.

Resposta

A série converge se, e somente se,
beta-alpha>1 l(ie, beta>alpha+1r),
e diverge em qualquer outro caso.

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