Mostrar que a série sumnu=1^infty sen pinu é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumnu=1^inftysin!l(pinur)
é divergente.
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar um teste de comparação com a série harmônica, sabendo que para 0<= x<= tfracpi2 vale a desigualdade
sin x>= tfrac2pix.

Passo 2

Para nu>=2 temos tfracpinu<=tfracpi2. Aplicando a desigualdade sin x>=tfrac2pix com x=tfracpinu, obtemos
sin!l(pinur);>=;2pi,pinu;=;2nu

Passo 3

Então, excluindo o primeiro termo (que é sinpi=0 e não afeta a convergência), para nu>=2
sin!l(pinur);>=;2nu
Mas sabemos que
sumnu=2^infty2nu =2sumnu=2^infty1nu
é divergente (série harmônica), logo por comparação a série
sumnu=1^inftysin(tfracpinu) diverge.

Resposta

A série sumnu=1^inftysin!l(tfracpinur) é divergente.

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