2.4.8 Ache as componentes cilíndricas circulares da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento,
ll vrho=dotrho, & arho=ddotrho-rho dotvarphi^2 vvarphi=rho dotvarphi, & avarphi=rho ddotvarphi+2 dotrho dotvarphi vz=dotz, & az=ddotz
Sugestão:
r(t) & =rho(t) rho(t)+z z(t) & =[x cos varphi(t)+y sen varphi(t)] rho(t)+z z(t)
Nota: dotrho=d rho / d t, ddotrho=d^2 rho / d t^2, e assim por diante.

Passo 1

O enunciado pede para obter as componentes cilíndricas da velocidade e da aceleração de uma partícula cuja posição é dada por
r(t)=rho,rho(t)+z,z(t)
com rho=xcosvarphi(t)+ysinvarphi(t) e varphi=-xsinvarphi(t)+ycosvarphi(t). O conteúdo é derivação de vetores em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar das regras de derivação dos versores rho,varphi,z.

Passo 2

Primeiro anotamos as derivadas dos versores cilíndricos em função de dotvarphi=dvarphi/dt:
ddt,rho=dotvarphi,varphi, ddt,varphi=-dotvarphi,rho, ddt,z=0
Essas fórmulas vêm de derivar cosvarphi e sinvarphi em função do tempo.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade
v=drdt =ddt(rho,rho)+ddt(z,z) =dotrho,rho+rho,drhodt+dot z,z
Usando tfracdrhodt=dotvarphi,varphi, obtemos
v =dotrho,rho+rho,dotvarphi,varphi+dot z,z
Logo as componentes são
vrho=dotrho, vvarphi=rho,dotvarphi, vz=dot z

Passo 4

Para a aceleração diferenciamos v:
a=dvdt =ddt(dotrho,rho) +ddt(rho,dotvarphi,varphi) +ddt(dot z,z)
Calculemos cada termo:
  1. ddt(dotrho,rho) =ddotrho,rho+dotrho,dotvarphi,varphi
  2. ddt(rho,dotvarphi,varphi) =l(dotrho,dotvarphi+rho,ddotvarphir)varphi +rho,dotvarphi,dvarphidt =l(dotrho,dotvarphi+rho,ddotvarphir)varphi -rho,dotvarphi^2,rho
  3. ddt(dot z,z) =ddot z,z
Somando e agrupando em rho,varphi,z,
a =l(ddotrho-rho,dotvarphi^2r)rho +l(rho,ddotvarphi+2,dotrho,dotvarphir)varphi +ddot z,z

Resposta

vrho=dotrho, vvarphi=rho,dotvarphi, vz=dotz
arho=ddotrho-rho,dotvarphi^2, avarphi=rho,ddotvarphi+2,dotrho,dotvarphi, az=ddotz

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